Prove que
para
.
Passo 1
A questão pede para provar que
para
. O conteúdo aqui é a transformada de Laplace e vamos usar a definição dela, junto com a técnica de integração por partes.
Passo 2
Pela definição da transformada de Laplace, temos
Precisamos calcular esse integral.
Passo 3
Para usar integração por partes, recorde a fórmula
Aqui escolhemos
Então
Passo 4
Aplicando integração por partes no integral
Para
, o termo de fronteira
vem a zero em
e é zero em . Logo esse termo some.
vem a zero em
e é zero em
Passo 5
O integral restante é
Mas
Multiplicando, obtemos
Passo 6
Portanto concluímos que
para .
para