Prove que Lt=1s^2 para R e(s)>0.

Passo 1

A questão pede para provar que Lt=tfrac1s^2 para Re(s)>0. O conteúdo aqui é a transformada de Laplace e vamos usar a definição dela, junto com a técnica de integração por partes.

Passo 2

Pela definição da transformada de Laplace, temos
Lt=integral0^inftyt,e^-st,dt
Precisamos calcular esse integral.

Passo 3

Para usar integração por partes, recorde a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Aqui escolhemos
u = t, dv = e^-st,dt
Então
du = dt, v = integral e^-stdt = -1se^-st

Passo 4

Aplicando integração por partes no integral
integral0^inftyt,e^-stdt = l[-tse^-str]0^infty - integral0^inftyl(-1se^-str)dt
Para Re(s)>0, o termo de fronteira
t e^-st
vem a zero em ttoinfty
e é zero em t=0. Logo esse termo some.

Passo 5

O integral restante é
1sintegral0^inftye^-stdt
Mas
integral0^inftye^-stdt = l[-tfrac1se^-str]0^infty = 1s
Multiplicando, obtemos
1scdot1s = 1s^2

Passo 6

Portanto concluímos que Lt = tfrac1s^2
para Re(s)>0.

Resposta

1s^2, Re(s)>0

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