Derive e simplifique.
y=sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função y = sen(x). O conteúdo é cálculo de derivadas de funções trigonométricas, e vamos precisar da definição de derivada como limite e de identidades trigonométricas para resolver.

Passo 2

A derivada de uma função f em x é dada por
f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h
Aplicando a f(x) = sen(x), temos
y' = limh to 0 sin(x+h) - sin(x)h

Passo 3

Usamos a identidade de adição de ângulos para seno:
sin(x+h) = sin x cos h + cos x sin h
Substituindo dentro do limite:
y' = limh to 0 sin x cos h + cos x sin h - sin xh

Passo 4

Separamos em duas parcelas:
y' = limh to 0 ( sin x (cos h - 1)h + cos x sin hh )
E usamos os limites notáveis:
limh to 0 sin hh = 1, limh to 0 cos h - 1h = 0
Logo,
y' = sin x cdot 0 + cos x cdot 1 = cos x

Passo 5

Chegamos ao resultado simplificado da derivada da função seno.

Resposta

cos(x)

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