Determine o domínio de analiticidade da função f e aplique o teorema de Cauchy-Goursat para calcular
integralgamma f(z) d z
onde a curva fechada simples gamma é a circunferência |z|=1 e
f(z)=1z^2+2 z+2

Passo 1

Vamos resolver um integral de função complexa usando o teorema de Cauchy–Goursat. A função é f(z)=1/(z²+2z+2) e queremos calcular ∮_{|z|=1} f(z)
Conteúdo: identificação de singularidades, domínio de analiticidade e aplicação do teorema de Cauchy–Goursat.

Passo 2

Para achar as singularidades de f, resolvemos o denominador igual a zero:
z^2+2z+2=0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
z=-2pmraiz4-82=-1pm i

Passo 3

Precisamos ver se esses polos estão dentro do círculo |z|=1. Calculamos o módulo:
|-1pm i|=raiz(-1)^2+1^2=raiz2approx1.414>1
Portanto, ambos os polos -1+i e -1-i ficam fora de |z|=1.

Passo 4

Isso mostra que f é analítica em todo o disco fechado |z|≤1, já que não há singularidades no interior nem na fronteira. Pelo teorema de Cauchy–Goursat, o integral de f ao longo de qualquer curva fechada simples dentro dessa região é zero.

Resposta

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