Determine o domínio de analiticidade da função
e aplique o teorema de Cauchy-Goursat para calcular
onde a curva fechada simples
é a circunferência
Passo 1
Vamos resolver um integral de função complexa usando o teorema de Cauchy–Goursat. A função é f(z)=1/(z²+2z+2) e queremos calcular ∮_{|z|=1} f(z)
Conteúdo: identificação de singularidades, domínio de analiticidade e aplicação do teorema de Cauchy–Goursat.
Conteúdo: identificação de singularidades, domínio de analiticidade e aplicação do teorema de Cauchy–Goursat.
Passo 2
Para achar as singularidades de f, resolvemos o denominador igual a zero:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 3
Precisamos ver se esses polos estão dentro do círculo |z|=1. Calculamos o módulo:
Portanto, ambos os polos
e
ficam fora de |z|=1.
Passo 4
Isso mostra que f é analítica em todo o disco fechado |z|≤1, já que não há singularidades no interior nem na fronteira. Pelo teorema de Cauchy–Goursat, o integral de f ao longo de qualquer curva fechada simples dentro dessa região é zero.
Resposta
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