Derive e simplifique.
y=tg(x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função trigonométrica
y = tg(x)
Conteúdo: derivadas de funções trigonométricas. Vamos usar a regra do quociente e identidade pitagórica.

Passo 2

Para aplicar a regra do quociente, escrevemos
tg(x)=sin(x)cos(x)
Definimos f(x)= sin(x) e g(x)= cos(x), cujas derivadas são f’(x)= cos(x) e g’(x)= -sin(x).

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
y' = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 = cos(x)cos(x) - sin(x)(-sin(x))cos^2(x)

Passo 4

Simplificamos o numerador usando a identidade trigonométrica cos^2(x)+sin^2(x)=1:
y' = cos^2(x)+sin^2(x)cos^2(x) = 1cos^2(x)

Passo 5

Reconhecendo 1/cos^2(x) como sec^2(x), obtemos a forma final.

Passo 6

Resposta

y' = sec^2(x)

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