(Teste da Série Alternada). Em 1705 o matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz observou que para que haja convergência de séries do tipo
onde
, chamadas Séries Alternadas, basta que
e que
para todo
.
Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique.
Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste de Leibniz em séries alternadas, cujo formato é
com
, decrescente e
. Aqui temos a série
ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, verificamos que
é sempre não negativa, pois para todo
vale
.
Passo 3
Agora mostramos que
é decrescente: basta observar que para todo
e isso é óbvio porque dividir por um número maior dá um quociente menor.
Passo 4
Em seguida, avaliamos o limite de
:
portanto a segunda condição do teste de Leibniz também está satisfeita.
Passo 5
Como
,
e
, pelo teste de Leibniz a série alternada converge. Entretanto, a série dos valores absolutos é
o que é a série harmônica, que diverge. Portanto a convergência é condicional.
Resposta
A série
sumn=1^+infty(-1)^n+1/n converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.