(Teste da Série Alternada). Em 1705 o matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz observou que para que haja convergência de séries do tipo
sumn=1^+infty(-1)^n+1 an
onde an >= 0, chamadas Séries Alternadas, basta que an 0 e que
an+1 <= an
para todo n.
Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique.
sumn=1^+infty (-1)^n+1n

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste de Leibniz em séries alternadas, cujo formato é
sumn=1^+infty(-1)^n+1an
com an>=0, decrescente e anto0. Aqui temos a série
sumn=1^+infty(-1)^n+1n
ou seja, an=1/n.

Passo 2

Primeiro, verificamos que an=1/n é sempre não negativa, pois para todo n>=1 vale 1/n>0.

Passo 3

Agora mostramos que an é decrescente: basta observar que para todo n>=1
1n+1<=1n
e isso é óbvio porque dividir por um número maior dá um quociente menor.

Passo 4

Em seguida, avaliamos o limite de an:
limnto+infty1n=0
portanto a segunda condição do teste de Leibniz também está satisfeita.

Passo 5

Como an>=0, an+1<= an e anto0, pelo teste de Leibniz a série alternada converge. Entretanto, a série dos valores absolutos é
sumn=1^+inftyl|tfrac(-1)^n+1nr|=sumn=1^+infty1n
o que é a série harmônica, que diverge. Portanto a convergência é condicional.

Resposta

A série sumn=1^+infty(-1)^n+1/n converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.

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