Faça o gráfico das seguintes funções:
(f) s(t)=1t+2-3

Passo 1

Estamos estudando o gráfico da função racional s(t)=1t+2-3. O conteúdo é transformações da função base y=1x: deslocamentos horizontal e vertical. Para desenhar, vamos precisar do domínio, das assíntotas e de alguns pontos-chave.

Passo 2

A partir de y=1x, aplicamos primeiro um deslocamento horizontal de 2 unidades à esquerda, obtendo y=1t+2. Depois, um deslocamento vertical de 3 unidades para baixo, chegando em s(t)=1t+2-3.

Passo 3

As assíntotas vêm daquelas da hiperbola original e dos deslocamentos. A assíntota vertical ocorre quando o denominador zera: t+2=0 t=-2. A assíntota horizontal é o valor que 1t+2 tende quando ttopminfty, isto é 0, deslocado para baixo dá s=-3.

Passo 4

Para ter mais precisão, escolhemos alguns valores de t e calculamos s(t):
  • Para t=0: s(0)=10+2-3=tfrac12-3=-tfrac52.
  • Para t=-1: s(-1)=11-3=1-3=-2.
  • Para t=-3: s(-3)=1-1-3=-1-3=-4.

Passo 5

Com domínio tneq -2, assíntotas t=-2 e s=-3, e pontos em mãos, esboçamos dois ramos:
  • Quando t>-2, t+2>0 tfrac1t+2>0 s(t)>-3. O ramo parte de +infty ao se aproximar de t=-2^+ e decresce em direção a -3 conforme tto+infty.
  • Quando t<-2, t+2<0 tfrac1t+2<0 s(t)<-3. O ramo vai de -infty em tto -2^- até se aproximar de -3 para $t\to -\infty.

Resposta

O gráfico é uma hipérbole com:
• assíntota vertical em t=-2
• assíntota horizontal em s=-3
• ramo para t>-2 acima de s=-3, decrescente de +∞ em tto-2^+ até -3
• ramo para t<-2 abaixo de s=-3, crescente de -∞ em tto-2^- até -3
• intercepto em (0,-2.5), e ponto (-1,-2) dentre outros para guiar o esboço.

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