Derive e simplifique.
y=x arctg(4 x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função . O conteúdo envolve regra do produto e regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos separar a função em duas partes: u(x)=x e . Pela regra do produto, v(x)=arctg(4x).

Passo 3

Derivando u(x)=x temos u'(x)=1. Agora derivamos usando regra da cadeia: se v(x)=arctg(4x), então .

Passo 4

Como z'=4 e z^2=(4x)^2=16x^2, obtemos
v'(x)=41+16x^2

Passo 5

Substituindo em y'=u'v+uv', vem
e, ao simplificar, chegamos à forma final

Resposta

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