Derive e simplifique.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y = e^cos x + cosl(e^xr). Vamos usar regras de derivação de soma, exponencial, cosseno e, em especial, a regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar e^cos x, aplicamos a regra da cadeia: para f(u)=e^u temos f'(u)=e^u e aqui u=cos x com u'=-sin x. Assim,
ddxe^cos x=e^cos xcdot(-sin x)=-sin x,e^cos x

Passo 3

Para derivar cosl(e^xr), de novo usa-se a regra da cadeia: para g(v)=cos v temos g'(v)=-sin v e aqui v=e^x com v'=e^x. Logo,
ddxcosl(e^xr)=-sinl(e^xr)cdot e^x=-e^x,sinl(e^xr)

Passo 4

Como a derivada de uma soma é a soma das derivadas, juntamos os resultados anteriores para obter
y'=-sin x,e^cos x-e^x,sinl(e^xr)

Resposta

y’ = -\sin x,e^{\cos x} - ex,\sin\bigl(ex\bigr)

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