Derive a transformação de velocidade para componente perpendicular: u_{y}^{\prime}=u_{y} /(\gamma(1+ \left.\left(v u_{x}\right) / c^{2}\right) ), assumindo movimento em x.

Passo 1

O que o enunciado pede: derivar a fórmula da transformação da componente de velocidade perpendicular (no eixo y) entre dois referenciais em movimento relativo apenas ao longo do eixo x. A fórmula que queremos obter é
u_{y}^{\prime}=\frac{u_{y}}{\gamma\!\left(1+\dfrac{v\,u_{x}}{c^{2}}\right)}.
Informações dadas (e que usaremos): as componentes da velocidade da partícula no referencial original são \,u_{x}=\dfrac{dx}{dt}\, e \,u_{y}=\dfrac{dy}{dt}\,; o movimento relativo entre os referenciais ocorre somente em x; \gamma é o fator de Lorentz associado à velocidade relativa v. Não começo a resolver aqui — só listei o que é pedido e os dados relevantes.

Passo 2

Escolha de convenção e transformação de Lorentz usada. Para obter a forma com o sinal + no denominador (igual à do enunciado) adotamos a transformação de Lorentz que leva as coordenadas (x,t) em S para (x',t') em S' com as seguintes fórmulas:
x'=\gamma\,(x+v\,t), \qquad y'=y, \qquad t'=\gamma\!\left(t+\frac{v\,x}{c^{2}}\right),
onde
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Breve comentário didático: \gamma é o fator de dilatação temporal/contração espacial típico da relatividade restrita; \gamma\ge1 e depende só de v. A convenção de sinais acima corresponde a um boost cujo sinal produz o termo +\dfrac{v\,x}{c^{2}} em t' — isso é uma escolha equivalente às formuladas em livros, e é feita para que a derivação gere o +\dfrac{v\,u_x}{c^2} do enunciado.

Passo 3

Definição de velocidade e relação diferencial. As componentes de velocidade no referencial S são definidas como
u_{x}=\frac{dx}{dt},\qquad u_{y}=\frac{dy}{dt}.
Queremos a componente correspondente em S':
u_{y}'=\frac{dy'}{dt'}.
Como a transformação dá y'=y, temos imediatamente
dy'=dy.
Agora calculamos dt' usando a expressão de t'. Diferenciando a expressão de t' obtemos
dt'=\gamma\left(dt+\frac{v\,dx}{c^{2}}\right).
Fatorando dt a partir de dx= u_{x}\,dt, escrevemos
dt'=\gamma\left(dt+\frac{v\,(u_{x}\,dt)}{c^{2}}\right) =\gamma\,dt\left(1+\frac{v\,u_{x}}{c^{2}}\right).
Aqui expliquei passo a passo: substituí dx por u_{x}\,dt porque u_x é a derivada temporal de x.

Passo 4

Cálculo direto de u_{y}'. Usando u_{y}'=\dfrac{dy'}{dt'}, com dy'=dy=u_{y}\,dt e o dt' obtido acima, temos
u_{y}'=\frac{dy'}{dt'}=\frac{u_{y}\,dt}{\gamma\,dt\left(1+\dfrac{v\,u_{x}}{c^{2}}\right)}.
Cancelando dt no numerador e denominador:
u_{y}'=\frac{u_{y}}{\gamma\left(1+\dfrac{v\,u_{x}}{c^{2}}\right)}.
Essa é exatamente a fórmula que queríamos derivar.

Passo 5

Comentário didático sobre a fórmula e limites. Algumas observações úteis para a prova e entendimento:
  • Se v\ll c (limite não-relativístico), então \gamma\approx1 e \dfrac{v\,u_{x}}{c^{2}}\approx0, logo u_{y}'\approx u_{y}, como esperado (pequeno efeito relativístico).
  • A diferença central para a transformação galileana é o fator \gamma e o denominador com o termo \dfrac{v\,u_{x}}{c^{2}}: esses garantem consistência com a invariança da velocidade da luz e com a estrutura do espaço-tempo relativístico.
  • Se você usar a convenção usual onde x'=\gamma(x-vt) e t'=\gamma(t-\tfrac{v x}{c^{2}}) (ou seja, troca de sinal em v), a derivação análoga leva a
u_{y}'=\frac{u_{y}}{\gamma\left(1-\dfrac{v\,u_{x}}{c^{2}}\right)},
portanto é importante estar atento à convenção de sinais pedida no enunciado.

Resposta

u_{y}^{\prime}=\frac{u_{y}}{\gamma\left(1+\dfrac{v\,u_{x}}{c^{2}}\right)}

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