Derive a transformação de velocidade para componente perpendicular:
), assumindo movimento em
.
Passo 1
O que o enunciado pede: derivar a fórmula da transformação da componente de velocidade perpendicular (no eixo
) entre dois referenciais em movimento relativo apenas ao longo do eixo
. A fórmula que queremos obter é
Informações dadas (e que usaremos): as componentes da velocidade da partícula no referencial original são
e
; o movimento relativo entre os referenciais ocorre somente em
;
é o fator de Lorentz associado à velocidade relativa
. Não começo a resolver aqui — só listei o que é pedido e os dados relevantes.
Passo 2
Escolha de convenção e transformação de Lorentz usada. Para obter a forma com o sinal
no denominador (igual à do enunciado) adotamos a transformação de Lorentz que leva as coordenadas
em
para
em
com as seguintes fórmulas:
onde
Breve comentário didático:
é o fator de dilatação temporal/contração espacial típico da relatividade restrita;
e depende só de
. A convenção de sinais acima corresponde a um boost cujo sinal produz o termo
em
— isso é uma escolha equivalente às formuladas em livros, e é feita para que a derivação gere o
do enunciado.
Passo 3
Definição de velocidade e relação diferencial. As componentes de velocidade no referencial
são definidas como
Queremos a componente correspondente em
:
Como a transformação dá
, temos imediatamente
Agora calculamos
usando a expressão de
. Diferenciando a expressão de
obtemos
Fatorando
a partir de
, escrevemos
Aqui expliquei passo a passo: substituí
por
porque
é a derivada temporal de
.
Passo 4
Cálculo direto de
. Usando
, com
e o
obtido acima, temos
Cancelando
no numerador e denominador:
Essa é exatamente a fórmula que queríamos derivar.
Passo 5
Comentário didático sobre a fórmula e limites. Algumas observações úteis para a prova e entendimento:
- Se
(limite não-relativístico), então e , logo , como esperado (pequeno efeito relativístico). - A diferença central para a transformação galileana é o fator
e o denominador com o termo : esses garantem consistência com a invariança da velocidade da luz e com a estrutura do espaço-tempo relativístico. - Se você usar a convenção usual onde
e (ou seja, troca de sinal em ), a derivação análoga leva a
portanto é importante estar atento à convenção de sinais pedida no enunciado.