Uma fonte emite luz de \lambda=500 \mathrm{~nm} em repouso. Se ela se afasta a v=0.2 c, calcule o comprimento de onda observado (caso longitudinal).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda observado quando uma fonte que emite luz com comprimento de onda em repouso \lambda_0 = 500\\ \mathrm{nm} se afasta do observador com velocidade v = 0{,}2\,c (caso longitudinal).\n
Informações dadas:
\lambda_0 = 500\\ \mathrm{nm}.\n
v = 0{,}2\,c.\n
Queremos: comprimento de onda observado \lambda_{\text{obs}} para observação longitudinal (fonte se afasta).

Passo 2

Vamos definir variáveis e conceito básico que vamos usar. \n
Definimos \beta como a velocidade relativa em unidades da velocidade da luz:
\beta \equiv \frac{v}{c}.
Aqui \beta = 0{,}2. \n
Também usamos o fato de que para luz em vácuo a relação entre frequência f e comprimento de onda \lambda é
\lambda = \frac{c}{f},
onde c é a velocidade da luz. Isso significa que se conhecemos como a frequência muda entre emissor e observador, conseguimos converter para comprimento de onda.

Passo 3

Explicando o efeito Doppler relativístico (passo-a-passo, físico e intuitivo):\n
  • A fonte emite cristas sucessivas da onda separadas por um período próprio T_0 = 1/f_0 no referencial da fonte. \n
  • Pela dilatação do tempo da Relatividade Restrita, no referencial do observador o intervalo entre emissões é maior: \Delta t_{\text{emissão}} = \gamma\,T_0ã, onde
\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
é o fator de Lorentz. Aqui a dilatação aparece porque o relógio da fonte (que marca as emissões) corre mais devagar visto pelo observador.\n
  • Além disso, como a fonte está se afastando, o segundo pulso tem que percorrer uma distância adicional v\,\Delta t_{\text{emissão}}ã para alcançar o observador, o que adiciona um tempo extra de viagem da luz igual a \dfrac{v\,\Delta t_{\text{emissão}}}{c} = \beta\,\Delta t_{\text{emissão}}ãã.\n
  • Logo, o tempo entre as chegadas ao observador é
T_{\text{obs}} = \Delta t_{\text{emissão}} + \beta\,\Delta t_{\text{emissão}} = \Delta t_{\text{emissão}}(1+\beta) = \gamma\,T_0(1+\beta).ããã

Passo 4

Passando para frequências: a frequência observada é f_{\text{obs}} = 1/T_{\text{obs}}. Substituindo o que achamos,
f_{\text{obs}} = \frac{1}{\gamma\,T_0(1+\beta)} = \frac{1}{\gamma(1+\beta)}\;f_0.
Usando \gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2} obtemos
f_{\text{obs}} = f_0\,\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta} = f_0\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.
Essa é a fórmula do efeito Doppler relativístico longitudinal: quando a fonte se afasta ( \beta>0), a frequência observada diminui (desvio para o vermelho).

Passo 5

Convertendo para comprimentos de onda: como \lambda = c/f, temos
\lambda_{\text{obs}} = \lambda_0 \frac{f_0}{f_{\text{obs}}} = \lambda_0 \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
\lambda_{\text{obs}} = \lambda_0 \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.
Isso mostra diretamente que, para \beta>0 (fonte se afastando), \lambda_{\text{obs}}>\lambda_0 (redshift).

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos \beta:
\beta = \frac{v}{c} = 0{,}2.
O fator dentro da raiz é
\frac{1+\beta}{1-\beta} = \frac{1+0{,}2}{1-0{,}2} = \frac{1{,}2}{0{,}8} = 1{,}5.
Logo
\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} = \sqrt{1{,}5}.
Sabemos que 1{,}5 = \dfrac{3}{2}, então
\sqrt{1{,}5} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \approx \frac{1{,}73205}{1{,}41421} \approx 1{,}224744871.

Passo 7

Multiplicamos pelo comprimento de onda emitido \lambda_0 = 500\\ \mathrm{nm}:
\lambda_{\text{obs}} = 500\\ \mathrm{nm} \times 1{,}224744871 \approx 612{,}3724355\\ \mathrm{nm}.
Arredondando de forma razoável (dado os dados do problema), ficamos com aproximadamente \lambda_{\text{obs}} \approx 612{,}4\\ \mathrm{nm}.\n
Interpretação rápida: a luz é deslocada para comprimentos de onda maiores (mais vermelhos) porque a fonte está se afastando.

Resposta

\lambda_{\text{obs}} \approx 612{,}4\\ \mathrm{nm}

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