Uma fonte emite luz de
em repouso. Se ela se afasta a
, calcule o comprimento de onda observado (caso longitudinal).
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de onda observado quando uma fonte que emite luz com comprimento de onda em repouso
se afasta do observador com velocidade
(caso longitudinal).\n
Informações dadas:
.\n
.\n
Queremos: comprimento de onda observado para observação longitudinal (fonte se afasta).
Informações dadas:
Queremos: comprimento de onda observado
Passo 2
Vamos definir variáveis e conceito básico que vamos usar. \n
Definimos como a velocidade relativa em unidades da velocidade da luz:
Definimos
Aqui
. \n
Também usamos o fato de que para luz em vácuo a relação entre frequência e comprimento de onda
é
Também usamos o fato de que para luz em vácuo a relação entre frequência
onde
é a velocidade da luz. Isso significa que se conhecemos como a frequência muda entre emissor e observador, conseguimos converter para comprimento de onda.
Passo 3
Explicando o efeito Doppler relativístico (passo-a-passo, físico e intuitivo):\n
- A fonte emite cristas sucessivas da onda separadas por um período próprio
no referencial da fonte. \n - Pela dilatação do tempo da Relatividade Restrita, no referencial do observador o intervalo entre emissões é maior:
, onde
é o fator de Lorentz. Aqui a dilatação aparece porque o relógio da fonte (que marca as emissões) corre mais devagar visto pelo observador.\n
- Além disso, como a fonte está se afastando, o segundo pulso tem que percorrer uma distância adicional
para alcançar o observador, o que adiciona um tempo extra de viagem da luz igual a .\n - Logo, o tempo entre as chegadas ao observador é
Passo 4
Passando para frequências: a frequência observada é
. Substituindo o que achamos,
Usando
obtemos
Essa é a fórmula do efeito Doppler relativístico longitudinal: quando a fonte se afasta (
), a frequência observada diminui (desvio para o vermelho).
Passo 5
Convertendo para comprimentos de onda: como
, temos
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
Isso mostra diretamente que, para
(fonte se afastando),
(redshift).
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos
:
O fator dentro da raiz é
Logo
Sabemos que
, então
Passo 7
Multiplicamos pelo comprimento de onda emitido
:
Arredondando de forma razoável (dado os dados do problema), ficamos com aproximadamente
.\n
Interpretação rápida: a luz é deslocada para comprimentos de onda maiores (mais vermelhos) porque a fonte está se afastando.
Interpretação rápida: a luz é deslocada para comprimentos de onda maiores (mais vermelhos) porque a fonte está se afastando.