Prove que a composição de velocidades nunca excede
: se
e
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as velocidades
e
e a constante
(velocidade da luz) e define a composição relativística
O pedido é: mostrar que
sob a hipótese natural de que as velocidades estão abaixo da luz, isto é, que
e
. Vamos provar a desigualdade
.
Passo 2
Primeiro eu verifico que o denominador da expressão de
é positivo, porque só assim posso multiplicar a desigualdade por ele sem trocar o sentido. Como
e
temos
, logo
Assim
Portanto é permitido multiplicar por
mantendo o sentido das desigualdades.
Passo 3
Agora começo da prova direta da desigualdade
. Escrevo a desigualdade que quero provar e multiplico ambos os lados pelo denominador (positivo), isto dá
Passo 4
Simplifico o lado direito para tirar as frações. Desenvolvendo o produto no lado direito:
Assim a desigualdade vira
Passo 5
Multiplico ambos os lados por
para eliminar a fração
. Como
o sentido da desigualdade não muda:
Reescrevo subtraindo
e reorganizando os termos no lado direito:
Passo 6
Agora fatoro o lado direito. Observando que
posso agrupar e fatorar como produto:
Portanto a desigualdade do passo anterior é equivalente a
Passo 7
Finalmente uso a hipótese
e
. Essas desigualdades implicam
e
(porque
e
), logo o produto
é estritamente positivo. Isso confirma
que, voltando pelos passos algebricos inversos, mostra que
ou seja,
.
Passo 8
Breve comentário físico e de verificação: a mesma verificação mostra na verdade que
sempre que
e
. Se as velocidades tiverem sinais diferentes, a etapa que garante
usa
. O fatoramento final pode ser usado para ver que
. Intuitivamente, a fórmula relativística para soma de velocidades “satura” em
e impede ultrapassagem da velocidade da luz.