Prove que a composição de velocidades nunca excede c : se u e v<c, mostre que w=(u+ v) /\left(1+u v / c^{2}\right)<c.

Passo 1

O enunciado dá as velocidades u e v e a constante c>0 (velocidade da luz) e define a composição relativística
w=\frac{u+v}{1+uv/c^{2}}.
O pedido é: mostrar que w<c sob a hipótese natural de que as velocidades estão abaixo da luz, isto é, que |u|<c e |v|<c. Vamos provar a desigualdade w<c.

Passo 2

Primeiro eu verifico que o denominador da expressão de w é positivo, porque só assim posso multiplicar a desigualdade por ele sem trocar o sentido. Como |u|<c e |v|<c temos |uv|<c^{2}, logo
-1<\frac{uv}{c^{2}}<1.
Assim
1+\frac{uv}{c^{2}}>0.
Portanto é permitido multiplicar por 1+uv/c^{2} mantendo o sentido das desigualdades.

Passo 3

Agora começo da prova direta da desigualdade w<c. Escrevo a desigualdade que quero provar e multiplico ambos os lados pelo denominador (positivo), isto dá
\frac{u+v}{1+uv/c^{2}}<c \quad\Longrightarrow\quad u+v < c\Bigl(1+\frac{uv}{c^{2}}\Bigr).

Passo 4

Simplifico o lado direito para tirar as frações. Desenvolvendo o produto no lado direito:
c\Bigl(1+\frac{uv}{c^{2}}\Bigr)=c+\frac{uv}{c}.
Assim a desigualdade vira
u+v < c+\frac{uv}{c}.

Passo 5

Multiplico ambos os lados por c>0 para eliminar a fração \dfrac{uv}{c}. Como c>0 o sentido da desigualdade não muda:
c(u+v) < c^{2} + uv.
Reescrevo subtraindo c(u+v) e reorganizando os termos no lado direito:
0 < c^{2} + uv - c(u+v).

Passo 6

Agora fatoro o lado direito. Observando que
c^{2} + uv - c(u+v) = c^{2} - cu - cv + uv,
posso agrupar e fatorar como produto:
c^{2} - cu - cv + uv = (c-u)(c-v).
Portanto a desigualdade do passo anterior é equivalente a
0 < (c-u)(c-v).

Passo 7

Finalmente uso a hipótese |u|<c e |v|<c. Essas desigualdades implicam c-u>0 e c-v>0 (porque u<c e v<c), logo o produto (c-u)(c-v) é estritamente positivo. Isso confirma
0 < (c-u)(c-v),
que, voltando pelos passos algebricos inversos, mostra que
\frac{u+v}{1+uv/c^{2}}<c,
ou seja, w<c.

Passo 8

Breve comentário físico e de verificação: a mesma verificação mostra na verdade que |w|<c sempre que |u|<c e |v|<c. Se as velocidades tiverem sinais diferentes, a etapa que garante 1+uv/c^{2}>0 usa |uv|<c^{2}. O fatoramento final pode ser usado para ver que c-|w|>0. Intuitivamente, a fórmula relativística para soma de velocidades “satura” em c e impede ultrapassagem da velocidade da luz.

Resposta

w<c

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