Derive usando a regra do produto e do quociente:
f(x)=(x^2+1)(x^3-2 x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar
f(x) = (x^2+1),(x^3-2x)
usando a regra do produto. Vamos lembrar que, se
u(x)=x^2+1 e v(x)=x^3-2x,
então
f(x)=u(x),v(x)
e
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 2

Calcular as derivadas de u e de v:
u(x)=x^2+1 Longrightarrow u'(x)=2x,
v(x)=x^3-2x Longrightarrow v'(x)=3x^2-2

Passo 3

Aplicar a regra do produto:
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = 2x,(x^3-2x) + (x^2+1),(3x^2-2)

Passo 4

Expandir e simplificar:
2x,(x^3-2x) = 2x^4 -4x^2,
(x^2+1),(3x^2-2) = 3x^4 -2x^2 +3x^2 -2 = 3x^4 + x^2 -2
Somando os dois resultados:
f'(x) = (2x^4-4x^2) + (3x^4+x^2-2) = 5x^4 -3x^2 -2

Resposta

f'(x) = 5x^4 -3x^2 -2

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