1. Calcule a transformada de Laplace de
e demonstre todo o equacionamento, passo a passo.
2) Calcule a transformada inversa do sinal
e demonstre todo o equacionamento, passo a passo.
3) Calcule a transformada de Laplace do sinal
. A partir do resultado da transformada de Laplace do sinal, encontre a Função de Transferência de um sistema de malha fechada unitário (ganho =1), sendo

Passo 1

O exercício tem três partes:
1. calcular a transformada de Laplace de x(t)=t usando a definição e integração por partes;
2. calcular a transformada inversa de X(z)=dfrac8z-19(z-2)(z-3) usando frações parciais;
3. encontrar a transformada de Laplace de x(t)=e^a tsin(omega t)u(t) via teorema de deslocamento em s e, com a=-2 e omega=3, determinar a função de transferência em malha fechada unitária H(s)=dfracG(s)1+G(s).

Passo 2

Definimos
Lt=integral0^infty t,e^-s t,dt
Fazemos integração por partes: escolhemos
u = t, dv = e^-s tdt Longrightarrow du = dt, v = -e^-s ts
Então
integral0^infty t,e^-s t,dt =l-t,e^-s tsr|0^infty +integral0^inftye^-s ts,dt

Passo 3

No limite ttoinfty, t,e^-stto0 (para Re(s)>0) e em t=0 o termo é zero, sobra
integral0^infty t,e^-s t,dt =1sintegral0^infty e^-s t,dt =1s,l[!-tfrace^-stsr]0^infty =1s,1s =1s^2

Passo 4

Para
X(z)=8z-19(z-2)(z-3)
fazemos fração parcial
8z-19(z-2)(z-3) =Az-2+Bz-3,
logo
8z-19 = A(z-3)+B(z-2)
Comparando coeficientes:
z:;8=A+B, const:;-19=-3A-2B
Dessa forma A=3 e B=5.

Passo 5

Escrevemos
X(z)=3z-2+5z-3,
e lembramos que
Z^-1ltfrac1z-ar=a^n,u[n]
Portanto
x[n]=3cdot2^n,u[n]+5cdot3^n,u[n]

Passo 6

Para x(t)=e^a tsin(omega t)u(t) usamos o fato de que
Lsin(omega t)u(t)=omegas^2+omega^2,
e o teorema de deslocamento em s:
Le^a tf(t) =F(s - a)
Logo
Le^a tsin(omega t)u(t) =omega(s - a)^2+omega^2

Passo 7

Substituindo a=-2 e omega=3 obtemos
X(s)=3(s+2)^2+9

Passo 8

Se tomarmos G(s)=X(s) como TF em malha aberta e fecharmos em realimentação unitária, a TF em malha fechada é
H(s)=G(s)1+G(s) =3(s+2)^2+9 1+3(s+2)^2+9 =3(s+2)^2+9+3 =3(s+2)^2+12

Resposta

  1. Lt=1s^2
  2. x[n]=3cdot2^n,u[n]+5cdot3^n,u[n]
  3. Le^a tsin(omega t)u(t)=omega(s - a)^2+omega^2, com a=-2,;omega=3:
    X(s)=3(s+2)^2+9 e em malha fechada unitária
    H(s)=3(s+2)^2+12

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