Derive usando a regra do produto e do quociente:
f(x)=raizx1+x^2

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=raizx1+x^2
usando as regras do produto e do quociente. Vamos precisar da derivada de potências, da regra da cadeia, da regra do produto e da regra do quociente.

Passo 2

Reescrevemos raizx como x^1/2 e enxergamos
f(x)=x^1/2,(1+x^2)^-1

Passo 3

Definimos
u(x)=x^1/2, v(x)=(1+x^2)^-1
Suas derivadas são
u'(x)=tfrac12,x^-1/2,
v'(x)=-1cdot(1+x^2)^-2cdot2x=-2x(1+x^2)^2

Passo 4

Aplicamos a regra do produto
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
e obtemos
f'(x)=12x^-1/2(1+x^2)^-1 ;+;x^1/2l(-2x(1+x^2)^2r)

Passo 5

Para unir tudo num único quociente, colocamos sobre o mesmo denominador (1+x^2)^2 e raizx:
12raizx(1+x^2) =1+x^22raizx(1+x^2)^2, 2xraizx(1+x^2)^2 =4x^22raizx(1+x^2)^2
Logo
f'(x) =1+x^22raizx(1+x^2)^2 -4x^22raizx(1+x^2)^2 =1-3x^22raizx(1+x^2)^2

Resposta

f'(x)=1-3x^22raizx(1+x^2)^2

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