Seja uma v.a. com fdp dada na tabela a seguir:
0 1 2 3 4 5
0
Encontre o valor de p.

Passo 1

O enunciado apresenta uma variável aleatória discreta X com suporte em 0,1,2,3,4,5 cuja função de probabilidade é dada por
pX(0)=0, pX(1)=p^2,;pX(2)=p^2,;pX(3)=p,;pX(4)=p,;pX(5)=p^2
Como se trata de uma fdp, sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Nosso objetivo é encontrar o valor de p que satisfaz essa condição.

Passo 2

Aplicamos a condição de normalização:
sumx=0^5pX(x)=0 + p^2 + p^2 + p + p + p^2 =1

Passo 3

Agrupando termos semelhantes, temos
3p^2 + 2p = 1

Passo 4

Colocando tudo num formato padrão de equação quadrática:
3p^2 + 2p - 1 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
p = -2 pm raiz2^2 - 4cdot3cdot(-1)2cdot3 = -2 pm raiz4 + 126 = -2 pm 46
Isso dá as raízes
p = 26 = 13 ou p = -66 = -1

Passo 5

Como p deve gerar probabilidades não negativas e pin[0,1], descartamos p=-1. Logo, o único valor viável é
p = 13

Resposta

p=tfrac13

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