Exercício 4. (Guidorizzi) Calcule os limites:
lim x 1^+ 3 x+1x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite unilaterial
limxto1^+3x+1x^2-1.
O conteúdo aqui é limites que envolvem indeterminação do tipo número não-zero0úã. Vamos fatorar o denominador, estudar o sinal das partes e concluir o comportamento da fração.

Passo 2

Fatoramos o denominador usando a diferença de quadrados:
x^2-1 = (x-1)(x+1)
Portanto a expressão fica
3x+1x^2-1 = 3x+1(x-1)(x+1)

Passo 3

Observamos que a função 3x+1 é contínua em x=1, então
limxto1^+(3x+1) = 3cdot1+1 = 4

Passo 4

Para xto1^+, temos x-1>0 (pequeno e positivo) e x+1>2 (positivo). Logo
(x-1)(x+1)to0^+times 2 = 0^+,
isto é, o denominador tende a zero por valores positivos.

Passo 5

Como o numerador tende a 4>0 e o denominador tende a 0^+, a fração cresce sem limite pelo lado positivo. Assim
limxto1^+3x+1x^2-1 = +infty

Resposta

+infty

Exercícios relacionados