Derive usando a regra do produto e do quociente:
f(x)=e^xx^2+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^xx^2+1
Aqui vamos usar a regra do produto junto com a regra da cadeia, reescrevendo f como produto de e^x por (x^2+1)^-1.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=e^xcdot (x^2+1)^-1
Definimos
u(x)=e^x, v(x)=(x^2+1)^-1
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x) e v'(x).
Como ddxe^x=e^x, temos
u'(x)=e^x
Para v(x)=(x^2+1)^-1 usamos regra da cadeia: se h(w)=w^-1 e w(x)=x^2+1, então
h'(w)=-w^-2, w'(x)=2x,
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v'(x)=h'(w(x)),w'(x)=-,(x^2+1)^-2cdot 2x=-2x(x^2+1)^2

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
vemos que
f'(x) =e^xcdot (x^2+1)^-1 +e^xcdotl(-2x(x^2+1)^2r)

Passo 5

Colocando sobre o mesmo denominador (x^2+1)^2, obtemos
f'(x) =e^x(x^2+1)(x^2+1)^2 -2x,e^x(x^2+1)^2 =e^xl(x^2+1-2xr)(x^2+1)^2

Resposta

f'(x)=e^x,(x^2-2x+1)(x^2+1)^2

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