Cinco bolas são numeradas 1,2,3,4 e 5 , respectivamente. Seja X a v.a. denotando a soma dos números de duas bolas extraídas ao acaso, sem reposição.
a) Encontre a tabela da distribuição de probabilidade(ou função de probabilidade f.p.) dessa variável.
b) Construa o gráfico de função de distribuição cumulativa para essa variável.
c) Achar média, a variância e o desvio padrão de X.
d) Achar média e a variância para variável Y=2 X-1.

Passo 1

O enunciado diz que temos cinco bolas numeradas de 1 a 5 e que extraímos duas sem reposição. Definimos a variável aleatória X como a soma dos números nas duas bolas. O conteúdo é cálculo de distribuição para variáveis discretas, usando contagem de casos em um espaço amostral uniformemente provável, depois cálculo de função de distribuição acumulada (FDA), valor esperado, variância e transformação linear de variável aleatória.

Passo 2

O total de pares possíveis é binom52=10. Vamos contar quantos pares somam cada valor x:
x=3&: (1,2)Rightarrow 1 caso, x=4&: (1,3)Rightarrow 1 caso, x=5&: (1,4),(2,3)Rightarrow 2 casos, x=6&: (1,5),(2,4)Rightarrow 2 casos, x=7&: (2,5),(3,4)Rightarrow 2 casos, x=8&: (3,5)Rightarrow 1 caso, x=9&: (4,5)Rightarrow 1 caso
Como cada par tem probabilidade 1/10, a função de probabilidade é
P(X=x)= 110,&x=3,4,8,9, 210,&x=5,6,7, 0,&caso contrário á

Passo 3

A função de distribuição acumulada F(x)=P(X<= x) é a soma das probabilidades até cada x. Assim:
F(x)=0, x<3,
F(x)=tfrac110, 3<= x<4,
F(x)=tfrac210, 4<= x<5,
F(x)=tfrac410, 5<= x<6,
F(x)=tfrac610, 6<= x<7,
F(x)=tfrac810, 7<= x<8,
F(x)=tfrac910, 8<= x<9,
F(x)=1, x>=9
O gráfico é um degrau com essas subidas nos pontos x=3,4,5,6,7,8,9.

Passo 4

Para a média e variância de X usamos
E[X]=sumx x,P(X=x), Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2
Calculamos
E[X] =1cdot3 +1cdot4 +2cdot5 +2cdot6 +2cdot7 +1cdot8 +1cdot910 =6010=6,
E[X^2] =1cdot3^2 +1cdot4^2 +2cdot5^2 +2cdot6^2 +2cdot7^2 +1cdot8^2 +1cdot9^210 =39010=39,
Var(X)=39 -6^2=39-36=3,
sigmaX=raizVar(X)=raiz3

Passo 5

Para a variável Y=2X-1, como é transformação afim de X,
E[Y]=2,E[X]-1=2cdot6-1=11,
Var(Y)=2^2,Var(X)=4cdot3=12

Resposta

(a)
P(X=x)= tfrac110,&x=3,4,8,9, tfrac210,&x=5,6,7, 0,&outros
(b)
F(x)= 0,&x<3, tfrac110,&3<= x<4, tfrac210,&4<= x<5, tfrac410,&5<= x<6, tfrac610,&6<= x<7, tfrac810,&7<= x<8, tfrac910,&8<= x<9, 1,&x>=9
(c)
E[X]=6, Var(X)=3, sigmaX=raiz3
(d)
E[Y]=11, Var(Y)=12

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