Derive usando a regra do produto e do quociente:
f(x)=xx^2+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=xx^2+1. O conteúdo aqui é cálculo de derivada usando regra do produto e regra do quociente. Vamos primeiro reescrever a função de modo a aplicar a regra do produto e depois aplicar a regra do quociente diretamente.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=x,(x^2+1)^-1
Para o produto, seja u(x)=x e v(x)=(x^2+1)^-1. Então
u'(x)=1, v'(x)=-1,(x^2+1)^-2cdot 2x=-2x,(x^2+1)^-2
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =(x^2+1)^-1+xl(-2x,(x^2+1)^-2r)
Colocando sob o mesmo denominador:
f'(x) =x^2+1(x^2+1)^2-2x^2(x^2+1)^2 =x^2+1-2x^2(x^2+1)^2 =1-x^2(x^2+1)^2

Passo 3

Agora aplicando diretamente a regra do quociente a
f(x)=g(x)h(x), g(x)=x,; h(x)=x^2+1,
temos
g'(x)=1, h'(x)=2x,
e
f'(x) =g'(x),h(x)-g(x),h'(x)l(h(x)r)^2 =1cdot(x^2+1)-xcdot2x(x^2+1)^2 =x^2+1-2x^2(x^2+1)^2 =1-x^2(x^2+1)^2

Resposta

A derivada é
f'(x)=1-x^2(x^2+1)^2

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