Derive usando a regra do produto e do quociente:
f(x)=(x^2+3 x)(x^-1+x^-2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=l(x^2+3xr)l(x^-1+x^-2r)
usando a regra do produto e a regra do quociente. Vamos identificar cada fator do produto, derivá-los separadamente e depois aplicar a fórmula do produto.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^2+3x e v(x)=x^-1+x^-2
Aplicamos a regra de derivação de potências em u:
u'(x)=ddx(x^2)+ddx(3x)=2x+3

Passo 3

Para v(x)=x^-1+x^-2 vamos usar a regra do quociente em cada termo, interpretando x^-1=tfrac1x e x^-2=tfrac1x^2.
  1. Em h(x)=tfrac1x,
h'(x)=0cdot x - 1cdot 1x^2=-1x^2
  1. Em k(x)=tfrac1x^2,
k'(x)=0cdot x^2-1cdot 2xx^4=-2xx^4=-2x^3
Logo,
v'(x)=-1x^2-2x^3

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo u, u', v e v',
f'(x)=(2x+3)l(1x+1x^2r)+(x^2+3x)l(-1x^2-2x^3r)

Passo 5

Vamos simplificar termo a termo:
  1. Primeiro produto:
(2x+3)1x=2+3x, (2x+3)1x^2=2x+3x^2,
portanto
u'(x),v(x)=2+5x+3x^2
  1. Segundo produto:
(x^2+3x)l(-1x^2r)=-l(1+3xr), (x^2+3x)l(-2x^3r)=-2l(1x+3x^2r),
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u(x),v'(x)=-1-5x-6x^2
Somando:
f'(x)=l(2+5x+3x^2r)+l(-1-5x-6x^2r) =1-3x^2

Resposta

f'(x)=1-3x^2

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