Seja
.
(a) Calcule
, existe a inversa perto de
?
(b) Se
é a inversa de
, é ela diferenciável? Caso afirmativo, calcule
.
(a) Calcule
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) calcular
e decidir se existe a inversa de em uma vizinhança de ; - (b) supondo que
é a inversa de , verificar se é diferenciável e, em caso afirmativo, calcular .
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
(já escrita acima). - O ponto
aparece na pergunta (avaliar em ). - O valor
é potencialmente (isso precisa ser verificado).
Passo 2
Calcular
substituindo
na definição de
.
Lembrando que
, segue
Portanto
, ou seja, o valor
é realmente a imagem de
.
Passo 3
Vamos estudar a existência local da inversa. Uma ferramenta padrão é o Teorema da Função Inversa (versão para funções de uma variável): se
é diferenciável numa vizinhança de um ponto
e
, então existe uma vizinhança de
em que
é bijetora sobre uma vizinhança de
, e a inversa é diferenciável naquela vizinhança de
.
Para aplicar isso precisamos calcular
e avaliar em
. Usamos a regra da cadeia: se
, então
. Aqui
, portanto
.
Logo,
Avaliar em
:
Como
, as hipóteses do Teorema da Função Inversa estão satisfeitas em
.
Passo 4
Consequências do passo anterior (explicando de maneira didática): ter
significa que a função não “empacota” valores próximos a
de forma horizontal — geometricamente a tangente em
tem inclinação diferente de zero, então
é localmente monotônica e tem inversa local. Pelo Teorema da Função Inversa, existe uma vizinhança de
em que
é bijetora para uma vizinhança de
, e a inversa
é diferenciável nessa vizinhança de
.
Portanto a resposta à pergunta (a) é:
e existe sim a inversa de
perto de
.
Passo 5
Agora vamos calcular
, onde
é a inversa local de
. Usamos a fórmula da derivada da inversa: se
em uma vizinhança e
é diferenciável com
, então para
próximo de
vale
A prova rápida dessa fórmula vem de derivar a identidade
em relação a
: pelo teorema da cadeia
logo
.
Queremos
. Como sabemos que
, então
. Substituindo:
Passo 6
Resumo intuitivo e exemplo curto para fixar: aqui a função é suave e em
a derivada é
, não zero, então localmente a função é invertível e sua inversa tem derivada igual ao inverso da derivada de
naquele ponto. Um exemplo simples que ajuda a lembrar: se
então
e a inversa é
com
(aqui vale para todo
). No nosso caso o mesmo princípio vale localmente em torno de
.
Força aí — você já chegou longe: calculou
, verificou a condição do teorema e aplicou a fórmula da derivada da inversa.