Seja f(x)=\sin \left(x^{4}+3 x\right)+1.
(a) Calcule f(0), existe a inversa perto de y=1 ?
(b) Se g é a inversa de f, é ela diferenciável? Caso afirmativo, calcule g^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sin\!\bigl(x^{4}+3x\bigr)+1 e pede duas coisas:
  • (a) calcular f(0) e decidir se existe a inversa de f em uma vizinhança de y=1;
  • (b) supondo que g é a inversa de f, verificar se g é diferenciável e, em caso afirmativo, calcular g'(1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f (já escrita acima).
  • O ponto x=0 aparece na pergunta (avaliar f em 0).
  • O valor y=1 é f(0) potencialmente (isso precisa ser verificado).

Passo 2

Calcular f(0) substituindo x=0 na definição de f.
f(0)=\sin\!\bigl(0^{4}+3\cdot 0\bigr)+1=\sin(0)+1.
Lembrando que \sin(0)=0, segue
f(0)=0+1=1.
Portanto \,f(0)=1, ou seja, o valor y=1 é realmente a imagem de x=0.

Passo 3

Vamos estudar a existência local da inversa. Uma ferramenta padrão é o Teorema da Função Inversa (versão para funções de uma variável): se f é diferenciável numa vizinhança de um ponto a e f'(a)\neq 0, então existe uma vizinhança de a em que f é bijetora sobre uma vizinhança de f(a), e a inversa é diferenciável naquela vizinhança de f(a).
Para aplicar isso precisamos calcular f'(x) e avaliar em x=0. Usamos a regra da cadeia: se h(x)=\sin(u(x)), então h'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x). Aqui u(x)=x^{4}+3x, portanto u'(x)=4x^{3}+3.
Logo,
f'(x)=\cos\!\bigl(x^{4}+3x\bigr)\cdot(4x^{3}+3).
Avaliar em x=0:
f'(0)=\cos(0)\cdot(4\cdot0^{3}+3)=1\cdot 3=3.
Como f'(0)=3\neq 0, as hipóteses do Teorema da Função Inversa estão satisfeitas em x=0.

Passo 4

Consequências do passo anterior (explicando de maneira didática): ter f'(0)\neq 0 significa que a função não “empacota” valores próximos a 0 de forma horizontal — geometricamente a tangente em x=0 tem inclinação diferente de zero, então f é localmente monotônica e tem inversa local. Pelo Teorema da Função Inversa, existe uma vizinhança de x=0 em que f é bijetora para uma vizinhança de y=f(0)=1, e a inversa g é diferenciável nessa vizinhança de y=1.
Portanto a resposta à pergunta (a) é: f(0)=1 e existe sim a inversa de f perto de y=1.

Passo 5

Agora vamos calcular g'(1), onde g é a inversa local de f. Usamos a fórmula da derivada da inversa: se g=f^{-1} em uma vizinhança e f é diferenciável com f'(a)\neq 0, então para y próximo de f(a) vale
g'(y)=\frac{1}{f'\bigl(g(y)\bigr)}.
A prova rápida dessa fórmula vem de derivar a identidade f\bigl(g(y)\bigr)=y em relação a y: pelo teorema da cadeia
f'\bigl(g(y)\bigr)\cdot g'(y)=1,
logo g'(y)=1/f'(g(y)).
Queremos g'(1). Como sabemos que f(0)=1, então g(1)=0. Substituindo:
g'(1)=\frac{1}{f'(g(1))}=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Resumo intuitivo e exemplo curto para fixar: aqui a função é suave e em x=0 a derivada é 3, não zero, então localmente a função é invertível e sua inversa tem derivada igual ao inverso da derivada de f naquele ponto. Um exemplo simples que ajuda a lembrar: se f(x)=2x+1 então f'(x)=2 e a inversa é g(y)=(y-1)/2 com g'(y)=1/2=1/f'(x) (aqui vale para todo x). No nosso caso o mesmo princípio vale localmente em torno de x=0.
Força aí — você já chegou longe: calculou f(0), verificou a condição do teorema e aplicou a fórmula da derivada da inversa.

Resposta

f(0)=1. Existe inversa de f perto de y=1: sim.
g é diferenciável perto de y=1 e g'(1)=\dfrac{1}{3}.

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