Derive usando as regras de derivação: F(x)=\frac{\cos ^{2}\left(\sqrt{x}+5 x^{4}\right)}{3^{x}}+e^{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função F(x) usando as regras de derivação. A função dada é:
F(x)=\frac{\cos ^{2}\left(\sqrt{x}+5 x^{4}\right)}{3^{x}}+e^{x^{3}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é soma de dois termos: \dfrac{\cos^{2}\big(\sqrt{x}+5x^{4}\big)}{3^{x}} e e^{x^{3}}.
  • O termo com cosseno envolve uma composição: \cos^{2}(\cdot) aplicada a \sqrt{x}+5x^{4}.
  • O denominador 3^{x} é uma exponencial de base 3.
  • O segundo termo é uma exponencial natural com expoente x^{3}.

Passo 2

Primeiro reescrevo a função de forma que fique mais fácil aplicar as regras:
F(x)=\cos^{2}\big(\sqrt{x}+5x^{4}\big)\cdot 3^{-x}+e^{x^{3}}.
Comentário rápido (sem resoluções ainda): a parte \cos^{2}(\cdot)\cdot 3^{-x} é um produto entre uma função composta \cos^{2}(\cdot) e 3^{-x}. Vou precisar da regra do produto e da regra da cadeia. O segundo termo pede a regra da cadeia para e^{x^{3}}.

Passo 3

Calculo a derivada do interno da composição que aparece no cosseno. Defino
u(x)=\sqrt{x}+5x^{4}=x^{1/2}+5x^{4}.
Uso a regra do poder (power rule) para derivar cada termo: a derivada de x^{1/2} é \tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{x}} e a derivada de 5x^{4} é 20x^{3}. Portanto
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+20x^{3}.
Breve explicação da regra do poder: se v(x)=x^{n} então v'(x)=n x^{n-1}. Aqui usei n=\tfrac{1}{2} e n=4.

Passo 4

Derivo a função g(x)=\cos^{2}\big(u(x)\big). Isto é uma composição de três níveis: v\mapsto v^{2} (fora), v\mapsto\cos v (meio) e v\mapsto u(x) (dentro). A regra da cadeia diz que se g(x)=f(h(x)) então g'(x)=f'(h(x))\cdot h'(x). Aplicando passo a passo:
  • Derivada de v^{2} em relação a v é 2v.
  • Derivada de \cos v em relação a v é -\sin v.
    Juntando com u'(x) obtemos
\frac{d}{dx}\cos^{2}\big(u(x)\big)=2\cos\big(u(x)\big)\cdot\big(-\sin\big(u(x)\big)\big)\cdot u'(x).
Simplificando o produto 2\cos u\cdot(-\sin u) -2\cos u\sin u. Usando a identidade trigonométrica \sin(2u)=2\sin u\cos u, uma forma mais compacta é
\frac{d}{dx}\cos^{2}\big(u(x)\big)=-\sin\big(2u(x)\big)\,u'(x).
Ou, explicitando u(x),
\frac{d}{dx}\cos^{2}\big(\sqrt{x}+5x^{4}\big)=-\sin\!\big(2(\sqrt{x}+5x^{4})\big)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+20x^{3}\right).
Pequeno lembrete: a regra da cadeia consiste em multiplicar as derivadas dos níveis de composição, de fora para dentro.

Passo 5

Derivo a função h(x)=3^{-x}. Lembro que a derivada de a^{x} é a^{x}\ln a. Aqui temos h(x)=3^{(-x)}, portanto aplico a regra da cadeia: derivada de 3^{v} é 3^{v}\ln 3 e derivada de v=-x é -1. Logo
h'(x)=3^{-x}\ln 3\cdot(-1)=-\ln(3)\,3^{-x}.
Explicação rápida: exponencial de base a cresce multiplicada por \ln a; se o expoente tem um fator extra usa-se cadeia.

Passo 6

Agora aplico a regra do produto para o primeiro termo \cos^{2}\big(u(x)\big)\cdot 3^{-x}. Se p(x)=g(x)h(x) então p'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x). Substituindo g e h que já calculei:
\frac{d}{dx}\!\left(\cos^{2}\big(u(x)\big)\cdot 3^{-x}\right) =\left[-\sin\!\big(2u(x)\big)\,u'(x)\right]\cdot 3^{-x} +\cos^{2}\big(u(x)\big)\cdot\left[-\ln(3)\,3^{-x}\right].
Posso colocar em forma fatorada por 3^{-x}:
\frac{d}{dx}\!\left(\cos^{2}\big(u(x)\big)\cdot 3^{-x}\right) =3^{-x}\left[-\sin\!\big(2u(x)\big)\,u'(x)-\ln(3)\cos^{2}\big(u(x)\big)\right].

Passo 7

Derivo o segundo termo e^{x^{3}}. A função exponencial e^{v} tem derivada e^{v}v' (regra da cadeia). Aqui v(x)=x^{3} e v'(x)=3x^{2}. Logo
\frac{d}{dx}e^{x^{3}}=e^{x^{3}}\cdot 3x^{2}=3x^{2}e^{x^{3}}.
Resumo: derivada de e^{\text{algo}} é e^{\text{algo}} vezes a derivada do “algo”.

Passo 8

Agora junto as duas partes (derivada do primeiro termo + derivada do segundo termo). Substituo u(x)=\sqrt{x}+5x^{4} e u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+20x^{3}. A derivada total é:
F'(x)=3^{-x}\Bigg[-\sin\!\big(2(\sqrt{x}+5x^{4})\big)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+20x^{3}\right)-\ln(3)\cos^{2}\!\big(\sqrt{x}+5x^{4}\big)\Bigg]+3x^{2}e^{x^{3}}.
Se preferir, pode escrever 3^{-x} como \dfrac{1}{3^{x}}; ambas as formas são equivalentes.

Resposta

F'(x)=3^{-x}\Bigg[-\sin\!\big(2(\sqrt{x}+5x^{4})\big)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+20x^{3}\right)-\ln(3)\cos^{2}\!\big(\sqrt{x}+5x^{4}\big)\Bigg]+3x^{2}e^{x^{3}}

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