Derive usando as regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
usando as regras de derivação. A função dada é:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é soma de dois termos:
e . - O termo com cosseno envolve uma composição:
aplicada a . - O denominador
é uma exponencial de base . - O segundo termo é uma exponencial natural com expoente
.
Passo 2
Primeiro reescrevo a função de forma que fique mais fácil aplicar as regras:
Comentário rápido (sem resoluções ainda): a parte
é um produto entre uma função composta
e
. Vou precisar da regra do produto e da regra da cadeia. O segundo termo pede a regra da cadeia para
.
Passo 3
Calculo a derivada do interno da composição que aparece no cosseno. Defino
Uso a regra do poder (power rule) para derivar cada termo: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Portanto
Breve explicação da regra do poder: se
então
. Aqui usei
e
.
Passo 4
Derivo a função
. Isto é uma composição de três níveis:
(fora),
(meio) e
(dentro). A regra da cadeia diz que se
então
. Aplicando passo a passo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Juntando comobtemos
Simplificando o produto
dá
. Usando a identidade trigonométrica
, uma forma mais compacta é
Ou, explicitando
,
Pequeno lembrete: a regra da cadeia consiste em multiplicar as derivadas dos níveis de composição, de fora para dentro.
Passo 5
Derivo a função
. Lembro que a derivada de
é
. Aqui temos
, portanto aplico a regra da cadeia: derivada de
é
e derivada de
é
. Logo
Explicação rápida: exponencial de base
cresce multiplicada por
; se o expoente tem um fator extra usa-se cadeia.
Passo 6
Agora aplico a regra do produto para o primeiro termo
. Se
então
. Substituindo
e
que já calculei:
Posso colocar em forma fatorada por
:
Passo 7
Derivo o segundo termo
. A função exponencial
tem derivada
(regra da cadeia). Aqui
e
. Logo
Resumo: derivada de
é
vezes a derivada do “algo”.
Passo 8
Agora junto as duas partes (derivada do primeiro termo + derivada do segundo termo). Substituo
e
. A derivada total é:
Se preferir, pode escrever
como
; ambas as formas são equivalentes.