Derive utilizando as regras de derivação.
g(x)=e^xx ln (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ g(x) = \frac{e^{x}}{x \ln(x)} $. Para isso, vamos usar as regras de derivação, especificamente a regra do quociente, que serve quando temos uma função dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisamos derivar. No nosso caso, temos:
  • Numerador: $ e^{x} $
  • Denominador: $ x \ln(x) $
A regra do quociente diz que, se temos uma função $ \frac{f(x)}{h(x)} $, a derivada é:
e^x
Então, vamos aplicar essa regra aqui.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{x} $ e $ h(x) = x \ln(x) $.
  • Derivada do numerador $ f’(x) $:
    A derivada de $ e^{x} $ é simplesmente $ e^{x} $, porque a função exponencial tem a propriedade de ser sua própria derivada.
    f(x) = e^x
  • Derivada do denominador $ h’(x) $:
    Aqui, temos o produto de duas funções: $ x $ e $ \ln(x) $. Vamos usar a regra do produto, que diz que $ (uv)’ = u’v + uv’ $.
    • Derivada de $ u = x $ é $ u’ = 1 $.
    • Derivada de $ v = \ln(x) $ é $ v’ = \frac{1}{x} $.
    Aplicando a regra do produto:
    h(x) = x ln(x)

Passo 4

Agora que temos $ f’(x) $ e $ h’(x) $, vamos aplicar a regra do quociente:
f'(x)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão no numerador:
e^x cdot x ln(x) - e^x cdot (ln(x) + 1) = e^x ln(x) (x - 1) - e^x
Mas para mantermos a expressão mais simples possível, podemos fatorar $ e^{x} $:
e^x

Passo 6

Então, a derivada fica:
g'(x) = e^x [ln(x)(x - 1) - 1]x^2 [ln(x)]^2
Podemos deixar assim ou simplificar um pouco mais dividindo $ e^{x} $ por $ x^2 [\ln(x)]^2 $:
e^x

Resposta

A derivada da função é:
g'(x) = e^x [ ln(x)(x - 1) - 1 ]x^2 ( ln(x) )^2

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