Derive utilizando as regras de derivação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ g(x) = \frac{e^{x}}{x \ln(x)} $. Para isso, vamos usar as regras de derivação, especificamente a regra do quociente, que serve quando temos uma função dividida por outra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisamos derivar. No nosso caso, temos:
- Numerador: $ e^{x} $
- Denominador: $ x \ln(x) $
A regra do quociente diz que, se temos uma função $ \frac{f(x)}{h(x)} $, a derivada é:
Então, vamos aplicar essa regra aqui.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{x} $ e $ h(x) = x \ln(x) $.
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Derivada do numerador $ f’(x) $:A derivada de $ e^{x} $ é simplesmente $ e^{x} $, porque a função exponencial tem a propriedade de ser sua própria derivada.
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Derivada do denominador $ h’(x) $:Aqui, temos o produto de duas funções: $ x $ e $ \ln(x) $. Vamos usar a regra do produto, que diz que $ (uv)’ = u’v + uv’ $.
- Derivada de $ u = x $ é $ u’ = 1 $.
- Derivada de $ v = \ln(x) $ é $ v’ = \frac{1}{x} $.
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora que temos $ f’(x) $ e $ h’(x) $, vamos aplicar a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão no numerador:
Mas para mantermos a expressão mais simples possível, podemos fatorar $ e^{x} $:
Passo 6
Então, a derivada fica:
Podemos deixar assim ou simplificar um pouco mais dividindo $ e^{x} $ por $ x^2 [\ln(x)]^2 $:
Resposta
A derivada da função é: