Determine a solução da equação:
Passo 1
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes:
Temos
Para resolver, vamos separar em duas partes: a solução geral da homogênea e uma solução particular, depois somamos as duas.
Passo 2
A parte homogênea é
O polinômio característico é
Chamando as raízes desse polinômio de
, a solução geral homogênea fica
onde
são constantes de integração.
Passo 3
Para achar uma solução particular
pelo método dos coeficientes indeterminados, notamos que o termo não homogêneo é
. Então propomos
Esse método funciona porque seno e cosseno são funções cujas derivadas fecham num sistema de mesmas funções.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
temos
Isso deve ser igual a
.
Passo 5
Igualando coeficientes de
e
em
obtemos
Logo a solução particular é
Passo 6
Somando a parte homogênea e a particular, a solução geral da equação original é
onde
são as raízes da equação
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
y(x)=C_{1}e{r_{1}x}+C_{2}e{r_{2}x}+C_{3}e{r_{3}x}+C_{4}e{r_{4}x}+\frac{5}{2}\cos x, onde r_{1},\dots,r_{4} são as raízes de r{4}+2r{3}-1=0.