Determine a solução da equação:
y^(4)+2 y^prime prime prime-y=5 sin (x)

Passo 1

Estamos lidando com uma equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes:
Temos
y^(4) + 2y''' - y = 5,sin(x)
Para resolver, vamos separar em duas partes: a solução geral da homogênea e uma solução particular, depois somamos as duas.

Passo 2

A parte homogênea é
y^(4) + 2y''' - y = 0
O polinômio característico é
r^4 + 2r^3 - 1 = 0
Chamando as raízes desse polinômio de r1,r2,r3,r4, a solução geral homogênea fica
yh(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x + C3 e^r3 x + C4 e^r4 x,
onde C1,dots,C4 são constantes de integração.

Passo 3

Para achar uma solução particular yp pelo método dos coeficientes indeterminados, notamos que o termo não homogêneo é 5sin x. Então propomos
yp(x) = Acos x + Bsin x
Esse método funciona porque seno e cosseno são funções cujas derivadas fecham num sistema de mesmas funções.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de yp:
yp = Acos x + Bsin x, yp' = -Asin x + Bcos x, yp'' = -Acos x - Bsin x = -yp, yp''' = Asin x - Bcos x = -yp', yp^(4) = Acos x + Bsin x = yp
Substituindo em y^(4) + 2y''' - y temos
yp^(4) + 2yp''' - yp = yp + 2yp''' - yp = 2l(Asin x - Bcos xr)
Isso deve ser igual a 5sin x.

Passo 5

Igualando coeficientes de sin x e cos x em
2Asin x - 2Bcos x = 5sin x + 0cos x,
obtemos
2A = 5 implies A = tfrac52, -2B = 0 implies B = 0
Logo a solução particular é
yp(x) = 52,cos x

Passo 6

Somando a parte homogênea e a particular, a solução geral da equação original é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x + C3 e^r3 x + C4 e^r4 x + 52cos x,
onde r1,r2,r3,r4 são as raízes da equação r^4+2r^3-1=0 e C1,dots,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e{r_{1}x}+C_{2}e{r_{2}x}+C_{3}e{r_{3}x}+C_{4}e{r_{4}x}+\frac{5}{2}\cos x, onde r_{1},\dots,r_{4} são as raízes de r{4}+2r{3}-1=0.

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