Encontre a solução completa da equação:
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a equação diferencial de quarta ordem:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, a gente monta a equação característica substituindo
por
:
Fatorando, temos:
Isso nos dá as raízes:
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o termo do lado direito é
, a gente pode supor que a solução particular tem a forma:
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução completa da equação é:
onde
são constantes arbitrárias.