Encontre a solução completa da equação:
y^(4)-y^prime prime=cos (2 x)

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a equação diferencial de quarta ordem:
y^(4) - y'' = cos(2x)
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y^(4) - y'' = 0
Para resolver isso, a gente monta a equação característica substituindo r^4 - r^2 = 0 por r^2(r^2 - 1) = 0 :
r = 0 (duas vezes), r = 1, r = -1
Fatorando, temos:
yh = C1 + C2 x + C3 e^x + C4 e^-x
Isso nos dá as raízes:
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular y^(4) - y'' = cos(2x) para a equação completa:
yp = A cos(2x) + B sin(2x)
Como o termo do lado direito é yp' &= -2A sin(2x) + 2B cos(2x) yp'' &= -4A cos(2x) - 4B sin(2x) yp''' &= 8A sin(2x) - 8B cos(2x) yp'''' &= 16A cos(2x) + 16B sin(2x) , a gente pode supor que a solução particular tem a forma:
16A cos(2x) + 16B sin(2x) - (-4A cos(2x) - 4B sin(2x)) = cos(2x)
Vamos calcular as derivadas necessárias:
20A cos(2x) + 20B sin(2x) = cos(2x)
Substituindo 20A = 1 20B = 0 e A = dfrac120 B = 0 na equação original:
yp = dfrac120 cos(2x)
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução completa da equação é:
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^x + C4 e^-x + dfrac120 cos(2x)
onde são constantes arbitrárias.

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