Derive.
(v) f(x)=ln (sen(a x))x

Passo 1

O problema pede pra gente derivar a função f(x)=ln(sen(a x))x. Aqui vamos usar conceitos de derivada de quociente e regra da cadeia aplicadas a ln e a senoidal.

Passo 2

Pra organizar, definimos u(x)=ln(sen(a x)) e v(x)=x. Assim, f(x)=u(x)/v(x) e a derivada vai sair pela regra do quociente.

Passo 3

Derivando u(x): como u(x)=ln(w) com w=sen(a x), usamos ddxln(w)=1ww'. E w'=ddxsen(a x)=acos(a x). Logo u'(x)=acos(a x)sen(a x)=acot(a x).

Passo 4

Derivando v(x)=x é direto: v'(x)=1.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente l(uvr)'=u'v - u v'v^2, temos
Substituindo u, u', v, v' e simplificando, obtemos
f'(x)=acot(a x)cdot x - ln(sen(a x))x^2

Resposta

f'(x)=a,xcot(a x)-ln(sen(a x))x^2

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