Seja
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Encontre a derivada desta função.
Encontre a derivada desta função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ F(x) = \left(\frac{x{3}-1}{x{4}+2}\right)^{24} $ e precisamos encontrar a derivada dela, ou seja, $ F’(x) $.
Aqui, vamos usar principalmente o Regra da Cadeia e a Regra do Quociente. A Regra da Cadeia é útil quando temos funções compostas (uma função dentro da outra), e a Regra do Quociente é para derivar frações onde o numerador e o denominador são funções de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte interna da nossa função, que a Regra da Cadeia vai nos ajudar a derivar. Vamos chamar de $ u(x) = \frac{x{3}-1}{x{4}+2} $. Assim, nossa função fica $ F(x) = [u(x)]^{24} $.
Passo 3
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia. Se temos $ F(x) = [u(x)]^{n} $, então a derivada é:
No nosso caso, $ n = 24 $, então:
Passo 4
Agora precisamos encontrar $ u’(x) $, que é a derivada de $ u(x) = \frac{x{3}-1}{x{4}+2} $. Para isso, usamos a Regra do Quociente. Se temos $ u(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $, então:
Aqui, $ f(x) = x^{3} - 1 $ e $ g(x) = x^{4} + 2 $.
Passo 5
Vamos calcular $ f’(x) $ e $ g’(x) $:
Passo 6
Aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 7
Agora, voltando à nossa derivada original $ F’(x) $:
Passo 8
Podemos simplificar um pouco mais combinando os denominadores:
Resposta
A derivada da função é