Seja F(x)=(x^3-1x^4+2)^24.
Encontre a derivada desta função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ F(x) = \left(\frac{x{3}-1}{x{4}+2}\right)^{24} $ e precisamos encontrar a derivada dela, ou seja, $ F’(x) $.
Aqui, vamos usar principalmente o Regra da Cadeia e a Regra do Quociente. A Regra da Cadeia é útil quando temos funções compostas (uma função dentro da outra), e a Regra do Quociente é para derivar frações onde o numerador e o denominador são funções de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna da nossa função, que a Regra da Cadeia vai nos ajudar a derivar. Vamos chamar de $ u(x) = \frac{x{3}-1}{x{4}+2} $. Assim, nossa função fica $ F(x) = [u(x)]^{24} $.

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia. Se temos $ F(x) = [u(x)]^{n} $, então a derivada é:
F(x) = [u(x)]^n
No nosso caso, $ n = 24 $, então:
F'(x) = n cdot [u(x)]^n-1 cdot u'(x)

Passo 4

Agora precisamos encontrar $ u’(x) $, que é a derivada de $ u(x) = \frac{x{3}-1}{x{4}+2} $. Para isso, usamos a Regra do Quociente. Se temos $ u(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $, então:
u'(x)
Aqui, $ f(x) = x^{3} - 1 $ e $ g(x) = x^{4} + 2 $.

Passo 5

Vamos calcular $ f’(x) $ e $ g’(x) $:
f'(x)
g'(x)

Passo 6

Aplicando a Regra do Quociente:
u'(x) = 3x^2 cdot (x^4 + 2) - (x^3 - 1) cdot 4x^3(x^4 + 2)^2
Vamos simplificar o numerador:
3x^2(x^4 + 2) = 3x^6 + 6x^2
4x^3(x^3 - 1) = 4x^6 - 4x^3
Numerador total = (3x^6 + 6x^2) - (4x^6 - 4x^3) = -x^6 + 4x^3 + 6x^2
Então,
u'(x) = -x^6 + 4x^3 + 6x^2(x^4 + 2)^2

Passo 7

Agora, voltando à nossa derivada original $ F’(x) $:
F'(x)

Passo 8

Podemos simplificar um pouco mais combinando os denominadores:
F'(x) = 24 cdot (x^3 - 1)^23 cdot (-x^6 + 4x^3 + 6x^2)(x^4 + 2)^25

Resposta

A derivada da função é
F'(x) = 24 cdot (x^3 - 1)^23 cdot (-x^6 + 4x^3 + 6x^2)(x^4 + 2)^25

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