Resolva as seguintes inequaçöes:
\frac{x-2 x^{2}}{x-1} \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x - 2x^{2}}{x - 1} \ge 0.
O conteúdo é inequação racional e vamos usar análise de sinais do numerador e do denominador.

Passo 2

Determinar o domínio e fatorar numerador e denominador.
O denominador exige x \neq 1.
O numerador é
x - 2x^{2} = x\,(1 - 2x).
Logo a expressão pode ser escrita como
\frac{x\,(1 - 2x)}{\,x - 1\,}\ge0.

Passo 3

Achar os pontos críticos onde numerador ou denominador se anulam:
- Numerador nulo quando x=0 ou 1-2x=0, isto é x=\tfrac12.
- Denominador nulo em x=1, ponto a excluir do domínio.

Passo 4

Fazer o quadro de sinais em cada intervalo determinado pelos pontos críticos 0<\tfrac12<1:
Intervalos: (-\infty,0), (0,\tfrac12), (\tfrac12,1), (1,\infty).
Escolhendo representantes:
- x=-1 em (-\infty,0): numerador -, denominador -)\(\;\Rightarrow+.
- x=0,25 em (0,\tfrac12): numerador +, denominador -)\(\;\Rightarrow–.
- x=0,75 em (\tfrac12,1): numerador -, denominador -)\(\;\Rightarrow+.
- x=2 em (1,\infty): numerador -, denominador + \;\Rightarrow–.)

Passo 5

Como queremos \ge0, incluímos onde a expressão é positiva ou zero. Zeros ocorrem em x=0 e x=\tfrac12; excluímos x=1.
Portanto a solução é a união dos intervalos onde o quadro de sinais deu positivo mais os zeros:

Resposta

(-\infty,0]\;\cup\;\bigl[\tfrac12,1\bigr).

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