Derive:
y=cos 5 xsen 2 x.

Passo 1

Neste exercício, precisamos derivar a função y=cos 5 xsen 2 x. O conteúdo aqui é sobre derivadas e, mais especificamente, teremos que usar a regra do quociente para resolver. A regra do quociente é utilizada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. Ela diz que se você tem uma função na forma y=uv, onde u e v são funções de x, então a derivada y' é dada por:
y' = u'v - uv'v^2
Aqui, u' = dudx é a derivada de u e v' = dvdx é a derivada de v.

Passo 2

Vamos definir nossos u e v:
  • u = cos 5x
  • v = sen 2x
Agora precisamos encontrar as derivadas de u e v.
Para u = cos 5x, usamos a regra da cadeia. A derivada de cos(kx) é -sin(kx) cdot k, onde k é uma constante. Então, temos:
u' = -sin(5x) cdot 5 = -5 sin(5x)
Para v = sen 2x, novamente aplicamos a regra da cadeia. A derivada de sin(kx) é cos(kx) cdot k. Assim, temos:
v' = cos(2x) cdot 2 = 2 cos(2x)

Passo 3

Agora que temos u', u, v', e v, podemos aplicar a regra do quociente:
y' = u'v - uv'v^2
Substituindo, ficamos com:
y' = (-5 sin(5x))(sen 2x) - (cos 5x)(2 cos(2x))(sen 2x)^2
Simplificando um pouco, temos:
y' = -5 sin(5x) sen 2x - 2 cos 5x cos(2x)(sen 2x)^2

Resposta

Portanto, a derivada de y=cos 5 xsen 2 x é
y' = -5 sin(5x) sen 2x - 2 cos 5x cos(2x)(sen 2x)^2

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