Derive:
y=x e^3 x.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para derivar a função y = x e^3x. Esse tipo de exercício está no conteúdo de derivadas, uma parte da cálculo que estuda como as funções mudam. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções.

Passo 2

Antes de tudo, vamos identificar as duas funções que estamos multiplicando. Temos:
  • u = x
  • v = e^3x
A regra do produto diz que a derivada de um produto de duas funções u e v é dada por:
dydx = u'v + uv'
Aqui, u' é a derivada de u, e v' é a derivada de v. Então, primeiro, precisamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Vamos começar com a derivada de u:
u' = ddx(x) = 1
Agora, precisamos achar a derivada de v. Para isso, vamos lembrar que v = e^3x. Aqui, precisamos usar a regra da cadeia, porque a função e^x tem uma chave a mais: quando temos uma função dentro dela, é preciso multiplicar pela derivada do que está dentro. Assim, temos:
v' = ddx(e^3x) = e^3x cdot ddx(3x) = e^3x cdot 3 = 3e^3x

Passo 4

Agora que já temos u' = 1 e v' = 3e^3x, podemos aplicar a regra do produto que falamos antes:
dydx = u'v + uv'
dydx = (1)(e^3x) + (x)(3e^3x)

Passo 5

Simplificando isso, ficamos com:
dydx = e^3x + 3xe^3x
Como e^3x é um fator comum, podemos fatorar isso:
dydx = e^3x(1 + 3x)

Resposta

Portanto, a derivada de y = x e^3x é:
dydx = e^3x(1 + 3x)

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