Derive:
y=(x^2+cotg(x^2))^3.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que temos aqui. O exercício pede para derivar a função y=(x^2+cotg(x^2))^3. Estamos lidando com derivadas, que é um conceito da Calculus onde buscamos a taxa de variação de uma função. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é uma técnica usada quando temos uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, para aplicar a regra da cadeia, vamos identificar as partes da função. No nosso caso, a função externa é a potência u^3, onde u = x^2+cotg(x^2) é a função interna. A regra da cadeia nos diz que a derivada de y em relação a x é dada por:
dydx = dydu cdot dudx
Agora, precisamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente.

Passo 3

Vamos calcular dydu. Sabemos que y = u^3, então, usando a regra da potência, a derivada é:
dydu = 3u^2
Substituindo u de volta na expressão:
dydu = 3(x^2+cotg(x^2))^2

Passo 4

Agora, vamos calcular dudx. Aqui, temos u = x^2+cotg(x^2). A derivada de x^2 é 2x, e para calcular a derivada de cotg(x^2), vamos precisar lembrar que a derivada da cotg(x) é -cosec^2(x). Usando a regra da cadeia novamente, temos:
ddxcotg(x^2) = -cosec^2(x^2) cdot 2x
Assim, juntando tudo, ficamos com:
dudx = 2x - 2x cosec^2(x^2)
= 2x(1 - cosec^2(x^2))

Passo 5

Agora podemos juntar as informações que temos. A derivada total da função y em relação a x fica assim:
dydx = dydu cdot dudx
Substituindo os valores que encontramos:
dydx = 3(x^2+cotg(x^2))^2 cdot 2x(1 - cosec^2(x^2))

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
dydx = 6x(x^2+cotg(x^2))^2(1 - cosec^2(x^2))

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