Derive :
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a função
. - O que se pede é a derivada
dessa função.
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Derivada da exponencial: a derivada de
é . - Regra da cadeia para
: a derivada de é multiplicada pela derivada de , que é ; portanto . - Regra do quociente: se
então
Aqui
é o numerador e
o denominador. A ideia é: derivar o numerador, multiplicar pelo denominador, subtrair o numerador vezes a derivada do denominador, e dividir pelo quadrado do denominador.
Passo 3
Identificar
e
e calcular suas derivadas:
- Definir
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 4
Aplicar a regra do quociente:
Passo 5
Simplificar o numerador usando a identidade
:
- Seja
e . Então o numerador é . - Calcular
e :
- Logo o numerador fica
.
Passo 6
Substituir a simplificação no quociente:
Passo 7
Dar uma forma alternativa interessante (útil na prova): notar que a própria
satisfaz
portanto
Assim outra forma equivalente para a derivada é
(Sim! isso é prático: em prova, às vezes é mais rápido reconhecer essa relação do que manipular exponenciais.)