Derive :
y=\left(e^{x}-e^{-x}\right) /\left(e^{x}+e^{-x}\right).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a função \displaystyle y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.
  • O que se pede é a derivada \displaystyle \frac{dy}{dx} dessa função.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Derivada da exponencial: a derivada de \displaystyle e^{x} é \displaystyle e^{x}.
  • Regra da cadeia para \displaystyle e^{-x}: a derivada de \displaystyle e^{-x} é \displaystyle e^{-x} multiplicada pela derivada de -x, que é -1; portanto \displaystyle \frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
  • Regra do quociente: se \displaystyle y=\frac{u(x)}{v(x)} então
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) o denominador. A ideia é: derivar o numerador, multiplicar pelo denominador, subtrair o numerador vezes a derivada do denominador, e dividir pelo quadrado do denominador.

Passo 3

Identificar u e v e calcular suas derivadas:
  • Definir
u(x)=e^{x}-e^{-x},\qquad v(x)=e^{x}+e^{-x}.
  • Calcular u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)=e^{x}-\bigl(-e^{-x}\bigr)=e^{x}+e^{-x}.
  • Calcular v'(x):
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)=e^{x}+(-e^{-x})=e^{x}-e^{-x}.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
\frac{dy}{dx}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(e^{x}+e^{-x})(e^{x}+e^{-x})-(e^{x}-e^{-x})(e^{x}-e^{-x})}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}.

Passo 5

Simplificar o numerador usando a identidade A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B):
  • Seja A=e^{x}+e^{-x} e B=e^{x}-e^{-x}. Então o numerador é A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B).
  • Calcular A-B e A+B:
A-B=(e^{x}+e^{-x})-(e^{x}-e^{-x})=2e^{-x},
A+B=(e^{x}+e^{-x})+(e^{x}-e^{-x})=2e^{x}.
  • Logo o numerador fica (2e^{-x})(2e^{x})=4.

Passo 6

Substituir a simplificação no quociente:
\frac{dy}{dx}=\frac{4}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}.

Passo 7

Dar uma forma alternativa interessante (útil na prova): notar que a própria y satisfaz
y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}},
portanto
1-y^{2}=\frac{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}-\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)^{2}}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}=\frac{4}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}.
Assim outra forma equivalente para a derivada é
\frac{dy}{dx}=1-y^{2}.
(Sim! isso é prático: em prova, às vezes é mais rápido reconhecer essa relação do que manipular exponenciais.)

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{4}{\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)^{2}}=1-y^{2}

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