Derive :
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações importantes que já temos: o logaritmo natural exige argumento positivo, e
para todo
. Logo o domínio da função é
. A tarefa é achar
para
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão antes de derivar. Usamos a propriedade de potências:
então
Essa forma é útil porque permite aplicar diretamente a regra da cadeia e a regra da potência.
Passo 3
Vou lembrar duas regras que vou usar (explicadas de forma bem direta):
- Regra da cadeia para o logaritmo: se
então
Isto vem de derivar
e multiplicar pela derivada do interior.
- Regra da potência: se
com constante então
Aqui essas duas juntas resolvem o problema.
Passo 4
Aplicando as regras ao nosso caso: tome
. Pela regra da potência,
Pela regra da cadeia para
,
Agora simplificamos potências de
:
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, para fixar): usando propriedades do log podemos escrever
Como
para
, obtemos novamente
.