Derive :
y=\ln \left(1 / x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\ln\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações importantes que já temos: o logaritmo natural exige argumento positivo, e \dfrac{1}{x^{2}}>0 para todo x\neq0. Logo o domínio da função é x\neq0. A tarefa é achar y'=\dfrac{dy}{dx} para x\neq0.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão antes de derivar. Usamos a propriedade de potências:
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2},
então
y=\ln\!\left(x^{-2}\right).
Essa forma é útil porque permite aplicar diretamente a regra da cadeia e a regra da potência.

Passo 3

Vou lembrar duas regras que vou usar (explicadas de forma bem direta):
  • Regra da cadeia para o logaritmo: se y=\ln(u(x)) então
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isto vem de derivar \ln e multiplicar pela derivada do interior.
  • Regra da potência: se u(x)=x^{n} com n constante então
u'(x)=n x^{n-1}.
Aqui essas duas juntas resolvem o problema.

Passo 4

Aplicando as regras ao nosso caso: tome u(x)=x^{-2}. Pela regra da potência,
u'(x) = -2 x^{-3}.
Pela regra da cadeia para \ln,
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-2 x^{-3}}{x^{-2}}.
Agora simplificamos potências de x:
\frac{-2 x^{-3}}{x^{-2}} = -2 x^{-3-(-2)} = -2 x^{-1} = -\frac{2}{x}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para fixar): usando propriedades do log podemos escrever
y=\ln\!\left(x^{-2}\right)=-2\ln|x|.
Como \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x} para x\neq0, obtemos novamente y'=-2\cdot \dfrac{1}{x}=-\dfrac{2}{x}.

Resposta

\displaystyle y'=-\frac{2}{x}, para x\neq0.

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