Derive :
.
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - Pergunta: calcular
.
Passo 2
Lembrete rápido do que é derivada: a derivada
de
é a taxa de variação instantânea de
em relação a
. Formalmente,
mas em prova normalmente usamos regras prontas (produto, quociente, cadeia, etc.) para calcular derivadas sem recorrer ao limite diretamente.
Passo 3
Escolha do método: é mais prático primeiro reescrever a função de forma que possamos aplicar a regra do produto. Escrever
Essa forma transforma um quociente em um produto, e a regra do produto é direta e simples de aplicar.
Passo 4
Relembrando a regra do produto e a regra da cadeia:
- Regra do produto: se
e são funções, então
Aqui escolhemos
e
.
- Regra da cadeia (útil para
): se , então
No nosso caso
, então
e a derivada de
será
.
Passo 5
Calcular as derivadas das partes:
-
implica . -
implica (pela regra da cadeia).
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Podemos fatorar
se quisermos uma forma mais compacta:
Outra forma equivalente, voltando a escrever com
no denominador, é