Derive :
y=x / e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é y=\dfrac{x}{e^{x}}.
  • Pergunta: calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Lembrete rápido do que é derivada: a derivada y' de y(x) é a taxa de variação instantânea de y em relação a x. Formalmente,
y'=\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h},
mas em prova normalmente usamos regras prontas (produto, quociente, cadeia, etc.) para calcular derivadas sem recorrer ao limite diretamente.

Passo 3

Escolha do método: é mais prático primeiro reescrever a função de forma que possamos aplicar a regra do produto. Escrever
y=\dfrac{x}{e^{x}}=x\cdot e^{-x}.
Essa forma transforma um quociente em um produto, e a regra do produto é direta e simples de aplicar.

Passo 4

Relembrando a regra do produto e a regra da cadeia:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)'=u'v+uv'.
Aqui escolhemos u(x)=x e v(x)=e^{-x}.
  • Regra da cadeia (útil para e^{-x}): se v(x)=e^{g(x)}, então
v'(x)=g'(x)\,e^{g(x)}.
No nosso caso g(x)=-x, então g'(x)=-1 e a derivada de e^{-x} será -e^{-x}.

Passo 5

Calcular as derivadas das partes:
  • u(x)=x implica u'(x)=1.
  • v(x)=e^{-x} implica v'(x)=-e^{-x} (pela regra da cadeia).
Aplicando a regra do produto:
y' = u'v + u v' = 1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x} - x e^{-x}.

Passo 6

Podemos fatorar e^{-x} se quisermos uma forma mais compacta:
y' = e^{-x}(1 - x).
Outra forma equivalente, voltando a escrever com e^{x} no denominador, é
y'=\dfrac{1-x}{e^{x}}.

Resposta

\dfrac{1-x}{e^{x}}

Exercícios relacionados