Derive :
y=x^{3} e^{4 x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função \displaystyle y = x^{3} e^{4x} e pede a sua derivada em relação a x.
Dados fornecidos:
  • \displaystyle y = x^{3} e^{4x}.
    Pergunta:
  • Calcular \displaystyle \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Vamos usar uma regra de derivação para produto de funções. A fórmula do produto é:
(uv)' = u'v + uv',
onde u e v são funções de x, u' é a derivada de u em relação a x e v' é a derivada de v em relação a x. Em palavras: para derivar um produto, deriva-se a primeira multiplicando pela segunda e soma-se a primeira multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas:
u(x) = x^{3},\qquad v(x) = e^{4x}.

Passo 4

Derivando u(x)=x^{3} usando a regra da potência (x^{n})' = n x^{n-1}:
u'(x) = 3x^{2}.
Explicação rápida: a regra da potência diz que se a função é uma potência inteira de x, multiplica-se pelo expoente e reduz-se o expoente em 1.

Passo 5

Derivando v(x)=e^{4x} usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz:
\text{Se } v(x)=f(g(x)),\text{ então } v'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).ã
Aqui podemos tomar f(t)=e^{t} e g(x)=4x. Como f'(t)=e^{t} e g'(x)=4, obtemos
v'(x) = e^{4x}\cdot 4 = 4e^{4x}.
Em palavras: derivada de e^{\text{algo}} é e^{\text{algo}} vezes a derivada do “algo”.

Passo 6

Aplicando a fórmula do produto com os resultados anteriores:
\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = (3x^{2})\cdot e^{4x} + x^{3}\cdot(4e^{4x}).

Passo 7

Fatorando os termos comuns para simplificar a expressão:
\frac{dy}{dx} = e^{4x}\bigl(3x^{2} + 4x^{3}\bigr) = x^{2}e^{4x}\bigl(3 + 4x\bigr).
Aqui foi colocado em evidência e^{4x} e x^{2} que aparecem em ambos os termos.

Resposta

x^{2} e^{4x} (3 + 4x)

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