Derive :
y=(\ln x)^{2} / x^{2}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a função y=\dfrac{(\ln x)^{2}}{x^{2}}.
  • Pedido: encontrar a derivada y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Observação importante sobre domínio: a função envolve \ln x, então só faz sentido para x>0.

Passo 2

Reescrevendo a função numa forma que facilita derivar (produto de duas funções):
y=(\ln x)^{2}\cdot x^{-2}.
Essa escrita permite usar a regra do produto com duas funções fáceis de derivar.

Passo 3

Lembrando as regras que vamos usar (breve aula rápida e prática):
  • Regra do produto: se y=u\cdot v, então
\frac{dy}{dx}=u'\,v+u\,v'.
Aqui u=(\ln x)^{2} e v=x^{-2}.
  • Regra da cadeia (para potências compostas): se u=(g(x))^{2}, então
u'=2\,g(x)\cdot g'(x).
No nosso caso g(x)=\ln x e g'(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Regra da potência para x^{n}: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando com n=-2 teremos v'=-2x^{-3}.

Passo 4

Derivando cada parte:
  • Para u=(\ln x)^{2}, pela regra da cadeia:
u'=2\,\ln x\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=2\,\ln x\cdot\frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}.
  • Para v=x^{-2}, pela regra da potência:
v'=-2x^{-3}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto y'=u'v+u v':
y'=\frac{2\ln x}{x}\cdot x^{-2}+(\ln x)^{2}\cdot\bigl(-2x^{-3}\bigr).

Passo 6

Simplificando termo a termo (vou factorar potências de x para ficar limpo):
y'=\;2\ln x\cdot x^{-3}-2(\ln x)^{2}\cdot x^{-3}.
Agora fatorando 2x^{-3}\ln x:
y'=2x^{-3}\ln x\bigl(1-\ln x\bigr).

Passo 7

Voltar à forma com fração, que costuma ser a mais prática:
y'=\frac{2\ln x\bigl(1-\ln x\bigr)}{x^{3}}.

Resposta

\dfrac{2\ln x\,(1-\ln x)}{x^{3}}

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