Derive :
y=(\ln x)^{5}.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y=(\ln x)^{5}. Informações importantes dadas:
  • A função é y=(\ln x)^{5}.
  • Domínio implícito: x>0 (porque \ln x só está definido para x>0).
  • Objetivo: encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Vamos simplificar a notação para aplicar uma regra de derivação em cascata. Defina uma função intermediária
u=\ln x.
Então podemos ver y como função de u:
y=u^{5}.
Essa substituição só muda a aparência, mas facilita explicar a técnica usada.

Passo 3

Apresentando a ideia central (a chamada regra da cadeia): se y=f(u) e u=g(x), então a derivada de y em relação a x é o produto das derivadas,
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Explicando devagar: primeiro deriva-se y em relação a u (tratando u como variável), e depois multiplica-se pelo quanto u varia quando x varia (ou seja, \dfrac{du}{dx}).

Passo 4

Calcule \dfrac{dy}{du} para y=u^{5}. Usamos a regra do poder (power rule): se f(u)=u^{n} com n constante, então
\frac{d}{du}\bigl(u^{n}\bigr)=n\,u^{n-1}.
Aplicando com n=5,
\frac{dy}{du}=5\,u^{4}.
Expliquei: a derivada de uma potência é o expoente multiplicando a mesma base com expoente reduzido em 1.

Passo 5

Calcule \dfrac{du}{dx} para u=\ln x. A derivada do logaritmo natural é uma fórmula básica:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x},\qquad x>0.
Aqui a razão é que \ln x cresce com ritmo inversamente proporcional a x.

Passo 6

Agora aplique a regra da cadeia que escrevemos no Passo 3:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}= \bigl(5\,u^{4}\bigr)\cdot\left(\frac{1}{x}\right).
Substitua de volta u=\ln x para expressar a derivada em termos de x:
\frac{dy}{dx}=5\,(\ln x)^{4}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 7

Simplifique a escrita final e lembre do domínio: x>0. Assim a derivada fica mais compacta como
\frac{dy}{dx}=\frac{5(\ln x)^{4}}{x}.
Se quiser praticar este método, experimente derivar y=(\ln x)^{2}: aplicando os mesmos passos encontra-se \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\ln x}{x}.

Resposta

\dfrac{5(\ln x)^{4}}{x}

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