Derive :
.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
. Informações importantes dadas:
- A função é
. - Domínio implícito:
(porque só está definido para ). - Objetivo: encontrar
.
Passo 2
Vamos simplificar a notação para aplicar uma regra de derivação em cascata. Defina uma função intermediária
Então podemos ver
como função de
:
Essa substituição só muda a aparência, mas facilita explicar a técnica usada.
Passo 3
Apresentando a ideia central (a chamada regra da cadeia): se
e
, então a derivada de
em relação a
é o produto das derivadas,
Explicando devagar: primeiro deriva-se
em relação a
(tratando
como variável), e depois multiplica-se pelo quanto
varia quando
varia (ou seja,
).
Passo 4
Calcule
para
. Usamos a regra do poder (power rule): se
com
constante, então
Aplicando com
,
Expliquei: a derivada de uma potência é o expoente multiplicando a mesma base com expoente reduzido em 1.
Passo 5
Calcule
para
. A derivada do logaritmo natural é uma fórmula básica:
Aqui a razão é que
cresce com ritmo inversamente proporcional a
.
Passo 6
Agora aplique a regra da cadeia que escrevemos no Passo 3:
Substitua de volta
para expressar a derivada em termos de
:
Passo 7
Simplifique a escrita final e lembre do domínio:
. Assim a derivada fica mais compacta como
Se quiser praticar este método, experimente derivar
: aplicando os mesmos passos encontra-se
.