Derive
y=ln (3 x+raiz1+9 x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = lnl(3x + raiz1 + 9x^2r),
então vamos usar a derivada de logaritmo junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Defina
u(x) = 3x + raiz1 + 9x^2
Como y = ln(u(x)), pela regra da cadeia vale
y' = u'(x)u(x)

Passo 3

Calcule u'(x). A derivada de 3x é 3. Para raiz1 + 9x^2 aplicamos regra da cadeia:
ddxraiz1 + 9x^2 = 12raiz1 + 9x^2cdot 18x = 9xraiz1+9x^2
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u'(x) = 3 + 9xraiz1+9x^2

Passo 4

Substituindo em y' e juntando frações, temos
y' = 3 + 9xraiz1+9x^23x + raiz1+9x^2 = 3raiz1+9x^2 + 9xl(3x + raiz1+9x^2r)raiz1+9x^2

Passo 5

No numerador fatoramos 3:
3raiz1+9x^2 + 9x = 3l(raiz1+9x^2 + 3xr)
No denominador está l(3x + raiz1+9x^2r)raiz1+9x^2. Cancelando o fator comum raiz1+9x^2+3x, sobra
y' = 3raiz1+9x^2

Resposta

3raiz1+9x^2

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