Use Integração por Partes ou a Mudança de Variável para resolver as integrais:
integral e^-theta cos (2 theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede a integral integral e^-thetacos(2theta),dtheta. Vamos usar integração por partes duas vezes para obter um sistema linear em I.

Passo 2

Denote
I = integral e^-thetacos(2theta),dtheta
e aplique integração por partes com u=cos(2theta) e dv=e^-theta,dtheta. Então
du=-2sin(2theta),dtheta, v=-e^-theta
de onde resulta
I = -e^-thetacos(2theta) - 2integral e^-thetasin(2theta),dtheta
Denotando
J = integral e^-thetasin(2theta),dtheta
temos
I = -e^-thetacos(2theta) - 2J

Passo 3

Para calcular J, aplique partes com u=sin(2theta) e dv=e^-theta,dtheta. Então
du=2cos(2theta),dtheta, v=-e^-theta
e
J = -e^-thetasin(2theta) + 2integral e^-thetacos(2theta),dtheta
Logo
J = -e^-thetasin(2theta) + 2I

Passo 4

Substitua J em I = -e^-thetacos(2theta) - 2J. Isso leva a
I = -e^-thetacos(2theta) - 2l(-e^-thetasin(2theta) + 2Ir) = -e^-thetacos(2theta) + 2e^-thetasin(2theta) - 4I
Reorganizando,
5I = e^-thetal(2sin(2theta) - cos(2theta)r) Longrightarrow I = e^-theta5l(2sin(2theta) - cos(2theta)r)

Resposta

integral e^-thetacos(2theta),dtheta = e^-theta5l(2sin(2theta) - cos(2theta)r) + C

Exercícios relacionados