Derive y=sen^3(x) raiz[3]x^2+1(3 x+2)^4.

Passo 1

Temos a função a derivar dada por y=sin^3(x),(x^2+1)^1/3(3x+2)^4. O conteúdo aqui envolve as regras de derivação de quociente, produto e cadeia, além das derivadas de sin(x) e de potências.

Passo 2

Reescrevemos y como quociente y=uv, onde
u=sin^3(x),(x^2+1)^1/3, v=(3x+2)^4

Passo 3

Calculamos u' aplicando a regra do produto em u=fcdot g com f=sin^3(x) e g=(x^2+1)^1/3:
f'=3sin^2(x)cos(x), g'=13(x^2+1)^-2/3cdot 2x = 2x3(x^2+1)^-2/3
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u'=f'g + f g' = 3sin^2(x)cos(x),(x^2+1)^1/3 + sin^3(x),2x3(x^2+1)^-2/3

Passo 4

Calculamos v' usando derivada de potência composta:
v=(3x+2)^4implies v'=4(3x+2)^3cdot(3)=12(3x+2)^3

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente:
y'=u'v - u,v'v^2 = u'(3x+2)^4 - ucdot12(3x+2)^3(3x+2)^8

Passo 6

Fatoramos (3x+2)^3 no numerador e simplificamos com o denominador, obtendo:
y'=(3x+2)^3l[u'(3x+2)-12ur](3x+2)^8 = u'(3x+2)-12u(3x+2)^5

Passo 7

Substituímos u e u' na expressão final para montar o resultado completo:
u=sin^3(x)(x^2+1)^1/3, nu'=3sin^2(x)cos(x)(x^2+1)^1/3+sin^3(x)2x3(x^2+1)^-2/3
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Passo 8

Reescrevendo o resultado final, temos:
y'=l[3sin^2(x)cos(x),(x^2+1)^1/3 + sin^3(x)2x3(x^2+1)^-2/3r](3x+2) - 12sin^3(x),(x^2+1)^1/3(3x+2)^5

Resposta

y'=l[3sin^2(x)cos(x)(x^2+1)^1/3 + sin^3(x)2x3(x^2+1)^-2/3r](3x+2) - 12sin^3(x)(x^2+1)^1/3(3x+2)^5

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