Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=4-2 x^2-3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, assim como os pontos de sela da função . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo multivariável, especificamente na análise de extremos locais e classificação de pontos críticos. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais e usar o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis são iguais a zero.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = -4x :
fy = partial fpartial y = -6y

Passo 4

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
-4x = 0 Rightarrow x = 0
-6y = 0 Rightarrow y = 0
Então, o único ponto crítico é .

Passo 5

Com o ponto crítico encontrado, precisamos classificá-lo para saber se é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas parciais e o determinante da matriz Hessiana.

Passo 6

Calculando as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -4
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -6
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0

Passo 7

Agora, montamos a matriz Hessiana H = fxx & fxy fxy & fyy = -4 & 0 0 & -6 :
det(H) = (-4) times (-6) - (0)^2 = 24
O determinante da Hessiana é:

Passo 8

Aplicando o teste da segunda derivada:
  • Se e , então temos um máximo local.
  • Se e , então temos um mínimo local.
  • Se , então é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e . Portanto, o ponto crítico é um máximo local.

Resposta

A função possui um máximo local no ponto com valor máximo igual a 4. Não há mínimos locais nem pontos de sela.

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