Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, assim como os pontos de sela da função
. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo multivariável, especificamente na análise de extremos locais e classificação de pontos críticos. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais e usar o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a todas as variáveis são iguais a zero.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Com o ponto crítico encontrado, precisamos classificá-lo para saber se é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas parciais e o determinante da matriz Hessiana.
Passo 6
Calculando as segundas derivadas parciais:
Passo 7
Agora, montamos a matriz Hessiana
:
O determinante da Hessiana é:
Passo 8
Aplicando o teste da segunda derivada:
- Se
e , então temos um máximo local. - Se
e , então temos um mínimo local. - Se
, então é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
. Portanto, o ponto crítico
é um máximo local.
Resposta
A função
possui um máximo local no ponto
com valor máximo igual a 4. Não há mínimos locais nem pontos de sela.