Derive.
y=t sen t1+t

Passo 1

Vamos derivar a função $ y = \frac{t \cdot \sin t}{1 + t} $. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de Derivadas, especificamente a Regra do Quociente. Precisaremos conhecer como derivar funções básicas como $ t $ e $ \sin t $.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da função que serão usadas na Regra do Quociente. Vamos chamar o numerador de $ u = t \cdot \sin t $ e o denominador de $ v = 1 + t $.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u $. Como $ u $ é o produto de $ t $ e $ \sin t $, usamos a Regra do Produto:
u

Passo 4

Em seguida, derivamos $ v $:
v

Passo 5

Aplicamos a Regra do Quociente, que diz que:
dydt = v cdot dudt - u cdot dvdtv^2
Substituindo $ u $, $ v $, $ \frac{du}{dt} $ e $ \frac{dv}{dt} $:
u

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
(1 + t)(t cos t + sin t) = t(1 + t)cos t + (1 + t) sin t
Subtraindo $ t \sin t $ do numerador:
t sin t
Portanto,
t(1 + t)cos t + (1 + t) sin t - t sin t = t(1 + t)cos t + sin t

Resposta

A derivada de $ y $ em relação a $ t $ é:
y

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