Derive.
Passo 1
Vamos derivar a função $ y = \frac{t \cdot \sin t}{1 + t} $. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de Derivadas, especificamente a Regra do Quociente. Precisaremos conhecer como derivar funções básicas como $ t $ e $ \sin t $.
Passo 2
Primeiro, identificamos as partes da função que serão usadas na Regra do Quociente. Vamos chamar o numerador de $ u = t \cdot \sin t $ e o denominador de $ v = 1 + t $.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ u $. Como $ u $ é o produto de $ t $ e $ \sin t $, usamos a Regra do Produto:
Passo 4
Em seguida, derivamos $ v $:
Passo 5
Aplicamos a Regra do Quociente, que diz que:
Substituindo $ u $, $ v $, $ \frac{du}{dt} $ e $ \frac{dv}{dt} $:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão:
Subtraindo $ t \sin t $ do numerador:
Portanto,
Resposta
A derivada de $ y $ em relação a $ t $ é: