Usando o teste da segunda derivada, localize e classifique os pontos críticos das funções
f(x, y)=3 x^4-4 x^2 y+y^2,

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da segunda derivada (Hessiano) para localizar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y) = 3x^4 - 4x^2y + y^2
O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis: vamos calcular as derivadas parciais, achar nabla f=0, montar a matriz Hessiana, avaliar o discriminante e, se necessário, analisar o comportamento de f em direções específicas.

Passo 2

Calculamos as derivadas de primeira ordem e igualamos a zero:
partial fpartial x = 12x^3 - 8xy,
partial fpartial y = -4x^2 + 2y
Igualando a zero:
12x^3 - 8xy = 4x,(3x^2-2y) = 0, -4x^2 + 2y = 0
Da primeira equação vem x=0 ou y=tfrac32x^2.
Se x=0, então da segunda sai 2y=0, ou seja y=0.
Se y=tfrac32x^2, substituindo em -4x^2+2y=0 obtemos
-4x^2 + 2cdottfrac32x^2 = -4x^2 +3x^2 = -x^2 = 0
que também dá x=0 e, portanto, y=0.
Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Agora obtemos as derivadas de segunda ordem para montar a matriz Hessiana:
fxx = partialpartial x(12x^3 - 8xy) = 36x^2 - 8y,
fyy = partialpartial y(-4x^2 + 2y) = 2,
fxy = partialpartial y(12x^3 - 8xy) = -8x
O discriminante do Hessiano é
D(x,y) = fxx,fyy - (fxy)^2 = (36x^2-8y)cdot 2 ;-;(-8x)^2 = 72x^2 -16y -64x^2 = 8,(x^2-2y)
Em (0,0) temos
D(0,0) = 8,(0-0) = 0, fxx(0,0) = 36cdot0^2 -8cdot0 = 0
Como D(0,0)=0, o teste da segunda derivada é inconclusivo em (0,0).

Passo 4

Para classificar o ponto crítico, examinamos o sinal de f em torno de (0,0).
Sobre o eixo y (i.e.\ x=0)
f(0,y) = y^2 >= 0
Já sobre a curva y = tfrac32x^2
fl(x,tfrac32x^2r) = 3x^4 -4x^2,l(tfrac32x^2r) +l(tfrac32x^2r)^2 = -tfrac34x^4 < 0 para xneq 0
Assim f assume valores positivos e negativos arbitrariamente próximos a (0,0), caracterizando um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de sela.

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