Usando o teste da segunda derivada, localize e classifique os pontos críticos das funções
,
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da segunda derivada (Hessiano) para localizar e classificar os pontos críticos da função
O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis: vamos calcular as derivadas parciais, achar
, montar a matriz Hessiana, avaliar o discriminante e, se necessário, analisar o comportamento de
em direções específicas.
Passo 2
Calculamos as derivadas de primeira ordem e igualamos a zero:
Igualando a zero:
Da primeira equação vem
ou
.
Se , então da segunda sai
, ou seja
.
Se , substituindo em
obtemos
Se
Se
que também dá
e, portanto,
.
Logo o único ponto crítico é .
Logo o único ponto crítico é
Passo 3
Agora obtemos as derivadas de segunda ordem para montar a matriz Hessiana:
O discriminante do Hessiano é
Em
temos
Como
, o teste da segunda derivada é inconclusivo em
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico, examinamos o sinal de
em torno de
.
Sobre o eixo (i.e.\
)
Sobre o eixo
Já sobre a curva
Assim
assume valores positivos e negativos arbitrariamente próximos a
, caracterizando um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um ponto de sela.