Derive.
f(theta)=sec theta1+sec theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(\theta) = \frac{\sec \theta}{1 + \sec \theta} $. Para isso, vamos usar o conceito de derivação de funções, especificamente a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma fração de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso:
  • Numerador ( u): $ \sec \theta $
  • Denominador ( sec theta ): $ 1 + \sec \theta $

Passo 3

Agora, precisamos lembrar das derivadas de $ \sec \theta $ e de $ 1 + \sec \theta $.
  • A derivada de $ \sec \theta $ em relação a $ \theta $ é $ \sec \theta \tan \theta $.
  • A derivada de $ 1 + \sec \theta $ também será $ \sec \theta \tan \theta $, já que a derivada de 1 é zero.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra do Quociente, que diz que se temos $ f(\theta) = \frac{u}{v} $, então a derivada $ f’(\theta) $ é:
f(theta) = uv
Substituindo $ u $ e $ v $:
f'(theta)

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula:
f'(theta) = (sec theta tan theta)(1 + sec theta) - (sec theta)(sec theta tan theta)(1 + sec theta)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
(sec theta tan theta)(1 + sec theta) - sec^2 theta tan theta = sec theta tan theta + sec^2 theta tan theta - sec^2 theta tan theta
Os termos $ \sec^2 \theta \tan \theta $ se cancelam:
sec^2 theta tan theta

Passo 7

Então, a derivada simplificada fica:
f'(theta) = sec theta tan theta(1 + sec theta)^2

Resposta

A derivada de $ f(\theta) = \frac{\sec \theta}{1 + \sec \theta} $ é:
f(theta) = sec theta1 + sec theta

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