Derive.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(\theta) = \frac{\sec \theta}{1 + \sec \theta} $. Para isso, vamos usar o conceito de derivação de funções, especificamente a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma fração de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso:
- Numerador (
): $ \sec \theta $ - Denominador (
): $ 1 + \sec \theta $
Passo 3
Agora, precisamos lembrar das derivadas de $ \sec \theta $ e de $ 1 + \sec \theta $.
- A derivada de $ \sec \theta $ em relação a $ \theta $ é $ \sec \theta \tan \theta $.
- A derivada de $ 1 + \sec \theta $ também será $ \sec \theta \tan \theta $, já que a derivada de 1 é zero.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra do Quociente, que diz que se temos $ f(\theta) = \frac{u}{v} $, então a derivada $ f’(\theta) $ é:
Substituindo $ u $ e $ v $:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Os termos $ \sec^2 \theta \tan \theta $ se cancelam:
Passo 7
Então, a derivada simplificada fica:
Resposta
A derivada de $ f(\theta) = \frac{\sec \theta}{1 + \sec \theta} $ é: