Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique.
Seja y=f(x) definida implicitamente por x^2+y^2+x sen(y)=0 então d yd x=2 x y^2+sen(y)2 x^2 y+cos (y)

Passo 1

Resumo da questão: A gente tem uma função y = f(x) definida pela equação x^2 + y^2 + x sin(y) = 0. Nosso objetivo é verificar se a derivada dydx = 2x y^2 + sin(y)2x^2 y + cos(y) está correta. Para isso, vamos usar o método da diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então ao derivar termos que envolvem y, precisamos usar a regra da cadeia.
ddx(x^2) + ddx(y^2) + ddx(x sin(y)) = ddx(0)
Isso fica:
2x + 2y dydx + sin(y) + x cos(y) dydx = 0

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos que contêm dydx:
(2y + x cos(y)) dydx = -2x - sin(y)

Passo 4

Para encontrar dydx, vamos isolar essa derivada:
dydx = -2x - sin(y)2y + x cos(y)

Passo 5

Vamos comparar a expressão que encontramos com a que foi dada no enunciado:
dydx = 2x y^2 + sin(y)2x^2 y + cos(y)
Observamos que as duas expressões não são iguais. A expressão que derivamos tem sinais e termos diferentes dos apresentados na afirmação.

Resposta

A afirmação é falsa.

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