Derive:
y=e^tg x.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado da questão pede para derivar a função y = e^tg x. O conteúdo da matéria aqui é sobre derivadas, mais especificamente sobre a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental para derivar funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar a função exponencial e a função tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como y = e^u, onde u = tg x, a derivada de y em relação a x é dada pela multiplicação da derivada externa pela derivada interna. Ou seja:
dydx = dydu cdot dudx
Aqui, y = e^u, então sua derivada em relação a u é simplesmente e^u. Agora vamos encontrar dudx, onde u = tg x. A derivada da tangente é:
dudx = sec^2 x
Nessa parte, basicamente calculamos a derivada de tangente, que é uma fórmula que vale a pena lembrar.

Passo 3

Agora vamos juntar tudo isso. A derivada de y em relação a x pode ser escrita como:
dydx = e^tg x cdot sec^2 x
Eu só substituí u de volta na expressão, e a forma dela é e^tg x, que é o mesmo que tínhamos no início.

Resposta

Portanto, a derivada da função y = e^tg x é:
dydx = e^tg x cdot sec^2 x

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