Encontre as dimensões de um retângulo com área de 1.000 m^2 cujo perímetro seja o menor possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as dimensões de um retângulo que tem uma área de e que tenha o menor perímetro possível. Isso envolve conceitos de geometria, especificamente área e perímetro de retângulos, além de otimização para encontrar a melhor solução. Vamos precisar usar as fórmulas da área e do perímetro e entender um pouquinho sobre como minimizar uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento do retângulo de Área = x times y = 1.000 , m^2 e a largura de x times y = 1.000 . A área do retângulo é dada por:
Á
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos expressar o perímetro do retângulo. A fórmula do perímetro é:
Perímetro = 2x + 2y í
Queremos minimizar esse perímetro. Como já sabemos que y = 1.000x , podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar Perímetro = 2x + 2(1.000x) = 2x + 2.000x :
Substituindo isso na fórmula do perímetro, teremos:
í

Passo 4

Para encontrar o valor de x = y que minimiza o perímetro, observamos que quando o retângulo tem lados iguais, ou seja, quando ele é um quadrado, o perímetro tende a ser menor. Isso acontece porque o quadrado distribui melhor a área em torno de seu perímetro.
Então, vamos igualar x times x = x^2 = 1.000 e x = raiz1.000 approx 31,62 , m :
Substituindo na equação da área:
Resolvendo para :
Como , a largura também é aproximadamente .

Resposta

As dimensões do retângulo com área de e perímetro mínimo são aproximadamente de comprimento e de largura.

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