Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto p indicado:
(x-3)^2+(y-1)^2=17, em p=(-1,2).

Passo 1

Vamos primeiro resumir o que o enunciado está pedindo. Temos uma curva representada pela equação (x-3)^2+(y-1)^2=17. Essa é a equação de um círculo com centro em (3, 1) e raio r = raiz17. Precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto p=(-1, 2). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada da função implícita e usar a equação da reta tangente.

Passo 2

Para encontrar a reta tangente à curva, primeiro precisamos calcular a derivada da função que representa a curva. A equação do círculo pode ser rearranjada para resolver y em termos de x. Podemos escrever a equação assim:
(y - 1)^2 = 17 - (x - 3)^2.
Agora, vamos aplicar a derivada implícita. A derivada implícita é uma técnica que nos permite encontrar a derivada de y em relação a x sem precisar resolver completamente a equação para y.
Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
2(y - 1) dydx = -2(x - 3).
Simplificando um pouco, dividimos ambos os lados por 2:
(y - 1) dydx = -(x - 3).
Agora isolamos dydx:
dydx = -(x - 3)y - 1.

Passo 3

Agora que temos dydx, precisamos avaliar essa derivada no ponto p=(-1, 2). Substituindo x = -1 e y = 2 na nossa derivada:
dydx = -(-1 - 3)2 - 1 = -(-4)1 = 41 = 4.
Então, a inclinação da reta tangente no ponto p é 4. Agora que temos a inclinação, podemos usar a fórmula da equação da reta, que é dada por:
y - y1 = m(x - x1),
onde (x1, y1) é o ponto onde queremos encontrar a tangente (neste caso, (-1, 2)) e m é a inclinação que encontramos. Portanto, substituindo:
y - 2 = 4(x + 1).

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Multiplicando tudo:
y - 2 = 4x + 4.
Agora, somamos 2 nos dois lados para isolar y:
y = 4x + 6.

Resposta

A equação da reta tangente à curva (x-3)^2+(y-1)^2=17 no ponto p=(-1, 2) é y = 4x + 6.

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