Derive:
y=e^-x^2+ln (2 x+1).

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para derivar a função y = e^-x^2 + ln(2x + 1). Aqui, a matéria que vamos usar é cálculo diferencial, mais especificamente a derivação. Para resolver, vamos precisar das regras de derivação, que incluem a regra da soma, a regra da cadeia e as derivadas das funções exponencial e logarítmica.

Passo 2

Vamos começar com a derivada da primeira parte da função, que é e^-x^2. Para isso, vamos usar a regra da cadeia. A ideia é que, quando temos uma função composta, a derivada da função externa deve ser multiplicada pela derivada da função interna.
  1. A função externa é e^u, e a derivada dela é e^u.
  2. A função interna é u = -x^2, e a derivada dela é u' = -2x.
Agora, aplicando a regra da cadeia, temos:
ddx(e^-x^2) = e^-x^2 cdot (-2x) = -2x e^-x^2

Passo 3

Agora vamos derivar a segunda parte da função, que é ln(2x + 1). Para isso, vamos usar a regra da cadeia novamente.
  1. A função externa é ln(u), onde u = 2x + 1, e a derivada dela é 1u.
  2. A função interna, u = 2x + 1, tem a derivada u' = 2.
Então, aplicando a regra da cadeia aqui, temos:
ddx(ln(2x + 1)) = 12x + 1 cdot 2 = 22x + 1

Passo 4

Agora que a gente tem as duas derivadas, é só somar tudo, porque a derivada da soma é a soma das derivadas. Assim, a derivada de y é:
dydx = -2x e^-x^2 + 22x + 1

Resposta

Portanto, a derivada de y = e^-x^2 + ln(2x + 1) é:
dydx = -2x e^-x^2 + 22x + 1

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