Determine a derivada:
f(x)=arcsen(e^x).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo, especificamente sobre derivadas. O enunciado pede para determinar a derivada da função f(x)=arcsen(e^x). Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que é bem comum quando temos funções compostas, como é o caso aqui.

Passo 2

A primeira coisa que precisamos entender é a função que temos: f(x)=arcsen(u), onde u = e^x. Sabemos que a derivada de arcsen(u) em relação a u é dada por:
ddu arcsen(u) = 1raiz1-u^2
Então, a gente precisa fazer a derivada de f(x) considerando a regra da cadeia, que nos diz para multiplicar a derivada da parte externa (neste caso, arcsen(u)) pela derivada da parte interna ( e^x).
Agora, vamos calcular a derivada de u = e^x:
dudx = e^x

Passo 3

Agora, usando a regra da cadeia, vamos calcular a derivada da nossa função f(x):
f'(x) = ddx arcsen(e^x) = 1raiz1 - (e^x)^2 cdot dudx
Substituindo a derivada que encontramos para u:
f'(x) = 1raiz1 - (e^x)^2 cdot e^x

Resposta

Portanto, a derivada da função f(x)=arcsen(e^x) é:
f'(x) = e^xraiz1 - e^2x

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